如何判断一个函数是否为初等函数？

Question

如题所述

Answer 1

初等函数是指由基本初等函数（如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等）通过有限次数的四则运算和复合运算而成的函数。

根据这个定义，我们可以知道如何判断一个函数是否为初等函数：

第一步，观察函数的形式。初等函数的形式应该是比较“简单”的，例如只包含幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等基本初等函数，并且这些函数的参数都比较简单，例如常数、变量等。如果函数的形式比较复杂或者包含了一些不常见的函数或者符号，那么这个函数可能不是初等函数。

第二步，检查函数的运算和复合关系。初等函数是通过有限次数的四则运算和复合运算而成的。因此，如果一个函数是通过有限次数的四则运算和复合运算而成的，那么这个函数就是初等函数。例如，
f(x)=x^2+2x+1
f(x)=x
2
+2x+1是一个初等函数，因为它只包含幂函数和加法运算。但是，如果函数的运算或者复合关系比较复杂或者无穷尽，那么这个函数可能不是初等函数。

第三步，考虑函数的定义域和值域。初等函数的定义域和值域通常是有限的，例如
f(x)=x^2
f(x)=x
2
的定义域是
\mathbf{R}
R，值域是
\lbrack0,+\infty)
[0,+∞)。如果函数的定义域或者值域是无限的或者非常复杂，那么这个函数可能不是初等函数。

综上所述，判断一个函数是否为初等函数需要观察函数的形式、检查函数的运算和复合关系以及考虑函数的定义域和值域。

Answer 2

可以观察此函数是否是由基本初等函数经过有限的四则运算变形而来的。因为由基本初等函数经过有限次的四则运算以及有限次的复合所生成的函数称为初等函数。
基本初等函数有：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。e的3x次方—x—2为初等函数，这是基本初等函数，e的3x次方是初等函数，这是两个基本初等函数的和，e的x次方*x的平方，这也是初等函数，这是两个基本初等函数的积，甚至e的（x的平方）次方也是初等函数。