定积分的计算

Question

如题所述

Answer 1

定积分的计算方法如下：

1、根据问题的具体情况，选取一个变量x为积分变量，并确定它的变化区间[a，b]。

2、把区间[a，b]分割为n个小区间，取其中任意一个小区间，求出相应的目标值（面积/体积/弧长等等）。如果这个目标值能近似地表示为[a，b]上的一个连续函数在变量x处的值f（x）与dx的乘积，就把f（x）dx称为U的元素，记作dU，即dU=f（x）dx。

3、将区间[a，b]上所有的U的元素都累加起来求极限。也就是将所求量U的元素f（x）dx作为被积表达式，在区间[a，b]上做定积分。

定积分是积分的一种，是函数f（x）在区间[a，b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

一般定理：

定理1、设f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上可积。

定理2、设f（x）区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在[a，b]上可积。

定理3、设f（x）在区间[a，b]上单调，则f（x）在[a，b]上可积。