不同特征值的特征向量为什么一定正交

Question

如题所述

Answer 1

对称阵不同的特征值对应的特征向量是相互正交的。

命题应该是实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是相互正交的.证明如下：

设λ1,λ2是两个A的不同特征值,α1,α2分别是其对应的特征向量,有

A * α1 = λ1 * α1,A * α2 = λ2 *α2

分别取转置,并分别两边右乘α2和α1,得

α1' * A' * α2 =λ2 * α1' * α2,α2' * A' * α1 =λ1 * α2' * α1 

对应相减并注意到α2' * A' * α1=（α2' * A' * α1)'= α1' * A' * α2 

所以 (λ1 - λ2) α1' * α2 = α1' * A' * α2 - α2' * A' * α1 = α1' * A' * α2 - α1' * A' * α2 =0

而 λ1 - λ2≠ 0,因此 α1' * α2 = 0

即 α1与α2 正交.

扩展资料：

求特征值

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。 

设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量，

系数行列式|A-λE|称为A的特征多项式，记¦(λ)=|λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。

¦(λ)=|λE-A|=λ+a1λ+…+an= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

Answer 2

不是所有矩阵都行，只有实对称矩阵的不同特征值的特征向量正交。证明如图：

Answer 3

不同特征值的特征向量一定正交，这是因为其所代表的两条直线垂直。

Answer 4

是的。正交矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交.
约定：复数λ的共轭复数记为λ′。
矩阵（包括向量）A的共轭转置矩阵（向量）记为A*
A是正交矩阵，A*＝A^（-1）,
设λ1,λ2是A的两个不同特征值，则λ1λ2′≠1
[λ2′＝1/λ2.如果λ1λ2′＝1，则λ1＝λ2]
λ1X1＝AX. λ2X2＝AX2.λ2′X2*＝X2*A*
λ1λ2′X2*X1＝X2*A*AX1＝X2*X1. （λ1λ2′-1）X2*X1＝0
λ1λ2′≠1, ∴X2*X1＝0,X2与X1正交.本回答被网友采纳

Answer 5

设λ1,λ2是两个A的不同特征值,α1,α2分别是其对应的特征向量,有
A * α1 = λ1 * α1，A * α2 = λ2 *α2
分别取转置,并分别两边右乘α2和α1,得
α1' * A' * α2 =λ2 * α1' * α2,α2' * A' * α1 =λ1 * α2' * α1
对应相减并注意到α2' * A' * α1=（α2' * A' * α1)'= α1' * A' * α2
所以 (λ1 - λ2) α1' * α2 = α1' * A' * α2 - α2' * A' * α1 = α1' * A' * α2 - α1' * A' * α2 =0
而 λ1 - λ2≠ 0,因此 α1' * α2 = 0
即 α1与α2 正交.
夘謪爗 2014-12-05

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