一恒成立问题常用方法
1 分离参数法
例 1：设 ，其中a是实数，n是任意给定的自然数且n≥2，若 当 时有意义, 求a的取值范围。
该题题型新颖，许多学生对函参数的不等式如何确定参数取值范围茫然不知所措。因为这类问题涉及到高中数学的各个分支，在代数，三角，几何，解析几何等的知识，而且这类问题思维要求高，解法也较灵活，故学生难以掌握。但若我们能认真观察分析一下这类问题的特征，其实这类题目的规律性是较强的。下面就结合例子给出解决此类问题的几种方法：
例如上面的这道高考题，我们根据其特征可以用分离参数法来解决。所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决。我们来分析一下这道题的特征：
因为分母n是正数，要使得 当 有意义，分子 就必须也是正数。并容易看出，可以将a分离出来。
分析： 当 时， 有意义，故有
令 ，只要对 在 上的最大值，此不等式成立即可。故我们可以利用函数的最值分离出参数a。
解： 由 时， 有意义得：
，由指数函数单调性知上式右边的函数 的最大值是 ＝
故 a>
一般地，利用最值分离参数法来确定不等式 , （
为实参数）恒成立中参数取值范围的基本步骤:
（1） 将参数与变量分离，即化为 的形式；
（2） 求 在 D时的最大（或最小）值；
（3） 解不等式 得 的取值范围。
思想方法： 把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。
适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。
利用这种方法可以顺利解决许多含参数不等式中的取值问题，还可以用来证明一些不等式。
例 2： 已知定义在R上函数f(x)为奇函数，且在 上是增函数，对于任意 求实数m范围，使 恒成立。
解： ∵ f(x)在R上为奇函数，且在 上是增函数，
∴ f(x)在 上为增函数
又 ∵
∴ ＞－ ＝
∴ 即
∵ 2－ ，
∴ 2
∴ m>
令2－
∴ m>4－
即4－m< 在 上恒成立
即求 在 上的最小值
∵ ≥2 等号成立条件t= ,即 成立
∴
∴ 4－m< 即m>4－
∴ m的取值范围为（4－ ，＋∞）
例 3： 设0<a ,若满足不等式 的 一切实数x，亦满足不等式
求正实数b的取值范围。
简析略解：此例看不出明显的恒成立问题，我们可以设法转化:
设集合A＝ ，
B=
由题设知A B，则：
于是得不等式组：
又 ，最小值为 ；
最小值为 ；
∴ ,
即 ：b的取值范围是
2 主参换位法
某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。
例4：若对于任意a ，函数 的
值恒大于0，求x的取值范围。
分析：此题若把它看成x的二次函数，由于a, x都要变，则函数的最小值
很难求出，思路受阻。若视a为主元，则给解题带来转机。
解： 设 ，把它看成关于a的直线，
由题意知，直线恒在横轴下方。
所以
解得： 或 或
例 5： 对于（0，3）上的一切实数x,不等式 恒成立，求实数m的取值范围。
分析： 一般的思路是求x的表达式，利用条件求m的取值范围。但求x的表达式时，两边必须除以有关m的式子，涉及对m讨论，显得麻烦。
解： 若设 ，把它看成是关于x的直线，由题意知直线恒在x的轴的下方。所以
解得：
3 构建函数法
当参数难以分离而不等式是有关某个变量的一次或二次函数时，可以通过构建函数来解决。我们知道，函数概念是高中数学的一个很重要的概念，其思想和方法已渗透到数学的各个分支。在某些数学问题中，通过数式类比，构造适当的函数模型，然后利用函数的有关性质结论解题，往往收到意想不到的效果。这里，我们主要介绍如何通过构造一次函数，二次函数模型，并利用它们的性质来确定参数的取值范围。
（1） 构造一次函数
例6： 若对一切 ，不等式 恒成立，求实数x的取值范围。
解： 原不等式变形为 ，
现在考虑p的一次函数：
∴ 在 上恒成立
解得： 或
∴ x的取值范围为
注： 本题对于一切 不等式恒成立，因此应视p为主元，视x为参数，把不等式左边变成关于p的一次函数型。
（2） 造二次函数
例7： 对于 ， 恒成立，求实数m的范围。
解： 原不等式变形为：
即
令 ，
∴
令 ＝
∴ 题意为 >0在 上恒成立。
＝ －4×1×( )<0
>0
解得 ： 或 或
∴ ，
即 m的取值范围为：
4 数形结合法
某些含参不等式恒成立问题，既不能分离参数求解，又不能转化为某个变量的一次或二次函数时，则可采用数形结合法。因为辨正唯物主义认为：万物皆有形。所以从宏观上讲，抽象的数学问题必存在着形象的直观模型，这是因为数学问题本身就是客观世界事物的抽象。我们在解题时，可以有意识地去认识，挖掘和创造抽象的直观形象，变抽象为直观，充分运用直感，由数思形，以形辅数。数形结合往往能迅速而简捷地找到解题途径。对于解含参不等式恒成立问题，我们可以先把不等式（或经过变形后的不等式）两端的式子分别看成两个函数，且画出两函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，从而列出关于含参数的不等式。
例8、已知对于一切x，y∈R，不等式 恒成立，求实数a的取值范围。
解： 要使原不等式恒成立 ，又
= ，考虑到点M（x, ），
N（y,- ）则点M在曲线C1：xy=9上，点N在曲线C2：x2+y2=2(y≤0)上。显然|MN|min= ，此时a .故满足条件的a 的取值范围为
评析：对一些不等式两边的式子，函数模型较明显、函数图象较容易作出的，可以考虑作出函数图象，用函数图像的直观性解决不等式或方程的恒成立的问题，也非常容易得到意想不到的效果。
例9：若不等式 在 内恒成立，求实数a的取
值范围。
解： 由题意知 ： 在 内恒成立。
在同一坐标系内分别作出 和 的图象
因为 时， 的图象位于函数 的图象上方，
当 a> 1时，显见不成立。
故 0<a<1 ①
由图可知：
的图象必须过点
或在这个点的上方，则：
∴ ②
由 ①，② 知 ：
∴ a 的取值范围为
5. 观察.试探.猜想.证明法
当前面的方法都难以解决问题时，我们可以考虑从特殊到一般的思想，先考虑一些变量的特殊值，找出相应的满足题设的参数的取值，然后猜想出参数的取值范围，并将问题转化为：在已知参数取值范围的情况下，证明所给问题恒成立。
例10： 已知对一切实数 ，不等式 恒
成立，试求实数a的取值范围。
分析： 取 ＝ ，
则由 解得： a>
又取 ＝0， 时均得：
由此猜想：
由于当 时，对一切
∵ ，
∴ 恒成立
故 为所求。
数学的深奥复杂性在于数学问题的千变万化，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强。这就要求我们要以变应变，在解题过程中，要根据具体的题设条件，认真观察题目中不等式的结构特征，从不同的角度，不同的方向，加以分析探讨，从而选择适当方法快速而准确地解出。当然除了以上的方法外，还有许多其它的方法，值得一提的是，各种方法之间并不是彼此孤立的。因此，系统地掌握参数问题的解题方法，无疑会对学生今后学习及培养学生分析问题和解决问题等方面有很大的帮助。
二、函数图像问题
1.一次函数(包括正比例函数) 最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。 定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R 值域：R 奇偶性：无 周期性：无 平面直角坐标系解析式(下简称解析式): ①ax+by+c=0[一般式] ②y=kx+b[斜截式] （k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0） ③y-y1=k(x-x1)[点斜式] （k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点） ④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式] （（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点） ⑤x/a-y/b=0[截距式] （a、b分别为直线在x、y轴上的截距） 解析式表达局限性： ①所需条件较多（3个）； ②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）； ④参数较多，计算过于烦琐； ⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。 倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜 角。设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。 2.二次函数题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。 定义域：R 值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷） 奇偶性：偶函数 周期性：无 解析式： ①y=ax^2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下； ⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）； ⑷Δ=b^2-4ac, Δ＞0，图象与x轴交于两点： （[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）； Δ＝0，图象与x轴交于一点： （-b/2a，0）； Δ＜0，图象与x轴无交点； ②y=a(x-h)^2+t[配方式] 此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）； 3.反比例函数 在平面直角坐标系上的图象为双曲线。 定义域：（负无穷，0）∪（0，正无穷） 值域：（负无穷，0）∪（0，正无穷） 奇偶性：奇函数 周期性：无 解析式：y=1/x 4.幂函数 y=x^a ①y=x^3 定义域：R 值域：R 奇偶性：奇函数 周期性：无 图象类似于将一个过圆点的二次函数的第四区间部分关于x轴作轴对称 后得到的图象（类比，这个方法不能得到三次函数图象） ②y=x^(1/2) 定义域：[0，正无穷） 值域：[0，正无穷） 奇偶性：无（即非奇非偶） 周期性：无 图象类似于将一个过圆点的二次函数以原点为旋转中心，顺时针旋转 90°，再去掉y轴下方部分得到的图象（类比，这个方法不能得到三次 函数图象） 5.指数函数 在平面直角坐标系上的图象（太难描述了，说一下性质吧……） 恒过点（0，1）。联系解析式，若a＞1则函数在定义域上单调增；若0＜a＜1 则函数在定义域上单调减。 定义域：R 值域：（0，正无穷） 奇偶性：无 周期性：无 解析式：y=a^x a＞0 性质：与对数函数y=log(a)x互为反函数。 *对数表达：log(a)x表示以a为底的x的对数。 6.对数函数 在定义域上的图象与对应的指数函数（该对数函数的反函数）的图象关于直线y=x轴对称。 恒过定点（1，0）。联系解析式，若a＞1则函数在定义域上单调增；若0＜a＜1 则函数在定义域上单调减。 定义域：（0，正无穷） 值域：R 奇偶性：无 周期性：无 解析式：y=log(a)x a＞0 性质：与对数函数y=a^x互为反函数。 7.三角函数 ⑴正弦函数：y=sinx 图象为正弦曲线（一种波浪线，是所有曲线的基础） 定义域：R 值域：[-1，1] 奇偶性：奇函数 周期性：最小正周期为2π 对称轴：直线x=kπ/2 (k∈Z） 中心对称点：与x轴的交点：（kπ，0）(k∈Z） ⑵余弦函数：y=cosx 图象为正弦曲线，由正弦函数的图象向左平移π/2个单位（最小平移量）所得。 定义域：R 值域：[-1，1] 奇偶性：偶函数 周期性：最小正周期为2π 对称轴：直线x=kπ (k∈Z） 中心对称点：与x轴的交点：（π/2+kπ，0）(k∈Z） ⑶正切函数：y=tg x 图象的每个周期单位很像是三次函数，很多个，均匀分布在x轴上。 定义域：{x│x≠π/2+kπ} 值域：R 奇偶性：奇函数 周期性：最小正周期为π 对称轴：无 中心对称点：与x轴的交点：（kπ，0）(k∈Z）。
三、数列问题
求和：
1、错位相减：你已知知道了，不说。
2、分组求和：一个数列的通项公式可以分成几个特殊数列的和。例：an=n+1/2^n
3、裂项：形如：1/1*2+1/2*3+1/3*4+1/4*5+……+1/n(n-1),主要是先裂其通项公式。此类题弄主要适用于，分母成等差数列的形式。再如：1/2*4+1/4*6+1/6*8+……+1/2n(2n-2),并且分母的前后项能连上，即为了能相约掉提供条件。
4、倒序相加：适用于可求出a1+an的问题，范围比较窄。例：等差数列{an}共n项，前5项和为10，最后5项和为50，所有项的和为120，求n
这里因为等差数列的性质，可知5+50＝5（a1+an）,然后利用前n项和的第一个公式，很容易就可以求出项数。
5、此外还有通项化归：即先将通项公式进行化简，再进行求和。如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。
6、并项求和：例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
此时当然可以先求出奇数项和偶数项的和，再相减。
但更好的方法是：（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]
基本现在能遇到的这些就够了。其它雷同。
求通项：
累加、叠乘，你只要把等差数列与等比数列的通项公式推导“过程”弄明白，自然其它形式也能想到。
累加：列出式子后相加，同样的一项，一正一负；
叠乘：列出式子后相乘，同样的一项，一个是分母一个是分子。
昨天就打完了，结果中毒，全白打了。希望对楼主有所裨益。
参考资料：自己经验数列求和
一、常用公式法
直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法．常用的数列求和公式有：
等差数列求和公式:
等比数列求和公式:
二、错位相减法
可以求形如 的数列的和，其中 为等差数列， 为等比数列.
例1：求和： .
设 ，其中 为等差数列， 为等比数列，公比为 ，利用错位相减法求和.
解： ，
两端同乘以 ，得
，
两式相减得
于是 .
说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.
三、裂项相消法
适用于 其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等
例2 求数列{1/( ＋ )}的前n项和
解： ∵1/( ＋ )＝ － (n＋1－n＝1)
分母有理化
∴1/( ＋ )＋1/( ＋ )＋…＋1/( － )
＝ －1＋ － ＋…＋ －
＝ －1
说明：对于分母是两二次根式的和，且被开方数是等差数列，
利用乘法公式，使分母上的和变成了分子上的差，从
而Sn又因中间项相消而可求。
四、分组转化法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和．
例3 已知集合A＝{a|a＝2n＋9n－4，n∈N且a＜2000}，求A中元素的个数，以及这些元素的和
解： 由 210＝1024，211＝2048
知 210＋9×10－4＜2000
211＋9×10－4＞2000
∴ A中有10个元素,记这些元素的和为S10，则
(首项为9，公差为9的等差数列)
S10＝2＋22＋23＋…＋210＋9＋18＋…＋90－4×10
(首项为2，公比为2的等比数列)
＝2(210－1)＋99×5－40＝2501
说明：本题中A是一个集合，集合中的元素是不可重复的，
也是没有顺序，所以集合与数列是不同的，但在
求和时与10个元素的顺序无关，所以可借用数列
的方法求和。
五、配对求和法
对一些特殊的数列，若将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，则在数列求和时，可考虑把这些项放在一起先配对求和，然后再求Sn．
例4, 设数列 的首项为 ，前 项和 满足关系式：
（1）求证：数列 是等比数列。
（2）设数列 的公比为 ，作数列 使 ，求 。
（3）对（2）中的数列 求和： 。
（1997年上海高考试题）
解:
1）略；（2） ，（提示： ）
（3）
（提示：配对求和
）
六、数学归纳法
第一数学归纳法：（1）已知命题 成立；
（2）若命题 成立；
由（1）（2）可知命题 都成立。
简单实例：证明 ；
第二数学归纳法：（1）已知命题 成立；
（2）若 ；
由（1）（2）命题 都成立。
应用的注意点：
（1）两步缺一不可
（2）第二步证明是必须利用归纳假设；
例5．用数学归纳法证明：
。
证明：i) 当n=2时，左式= ，
右式= ， ∵ ， ∴ ，
即n=2时，原不等式成立。
ii)假设n=k(k≥2, k∈Z)时，不等式成立，即
,
则n=k+1时，
左边=
右边= ，要证左边>右边，
只要证 ，
只要证 ， 只要证 4k2+8k+4>4k2+8k+3
只要证4>3。
而上式显然成立，所以原不等式成立，即n=k+1时，左式>右式。
由i), ii)可知，原不等式对n≥2，n∈N均成立。
七 .倒序相加法：
如果一个数列｛an｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和， 可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法。
例6. 求和
解析：据组合数性质 ，将 倒序写为
以上两式相加得：
八. 待定系数法
类似等差数列，如果 是关于 的 次式，那么它的前 项和 是关于 的 次式，且不含常数项。因此，只要求出这个 次式的各项系数即可。
例7. 求和
解析：由于通项 是 的二次式，则 是 的三次式，且不含常数项。
设 ，令 得
解得
所以
宏志网校 俊杰
参考资料：湖南祁东二中 谭扬 421600