概率问题，已知：P(AB)=P(A的逆*B的逆）

Question

已知：P(AB)=P(A的逆*B的逆），且P(A）=1/3，求P(B)
注：“A的逆”为A的逆事件
没有独立这个条件，独立的话不就很简单了！

Answer 1

如果A,B相互独立
PAB=PAPB
P!AP!B=P!AP!B
由于P(AB)=P(!A!B)
于是PAPB=P!AP!B
PA=1/3 P!A=2/3 P!B=(1-PB)
1/3*PB=2/3*(1-PB)
PB=2(1-PB)=2-2PB
3PB=2
PB=2/3
如果不独立，不知道怎么算。
因为只有A,B独立才有P(AB)=PAPB 还有P(!A!B)=P!AP!B
不独立的话无法入手。

以下是不独立的算法。

P(AB)=P(!A!B)

P(AB)=P(!A!B)=P!(A+B)
又
P(A+B)=PA+PB-PAB
移项有PAB=PA+PB-P(A+B)
所以P!(A+B)=PA+PB-P(A+B)
于是P!(A+B)+P(A+B)=PA+PB
显然左边等于1
于是PA+PB=1
PB=1-1/3=2/3

独立和不独立情况都解答完毕。

Answer 2

P(AB)=P(A)*P(B)
P(A的逆*B的逆）=P(A的逆)*P(B的逆)
P(A）=1/3,则P(A的逆)=1-1/3=2/3
设P(B)=x，则P(B的逆)=1-x
带入P(AB)=P(A的逆*B的逆）得：
1/3x=2/3（1-x）
解得：x=2/3

Answer 3

p(ab)=p((ab)的逆)=（1-p(ab))
所以p(ab)=0.5
与p(a)=0.4矛盾(因为p(a)>=p(ab))
无解的吧，就算p(a)>=0.5，也是解不出来的……缺了个条件