幂级数∑(n+2) x^(n+3)的和函数为多少？

Question

如题所述

Answer 1

要求幂级数∑(n+2) x^(n+3)的和函数，我们可以按照幂级数的定义进行计算。
根据幂级数的定义，我们知道和函数为：
f(x) = ∑(n=0 to ∞) (n+2) x^(n+3)
我们可以对幂级数进行展开并合并类似的项，得到：
f(x) = ∑(n=0 to ∞) (n+2) x^(n+3)
= 2x^3 + ∑(n=1 to ∞) (n+2) x^(n+3)
接下来，我们将(n+2)这个项拆开，得到：
f(x) = 2x^3 + ∑(n=1 to ∞) (n x^(n+3)) + ∑(n=1 to ∞) (2 x^(n+3))
这里我们可以对两个求和式进行拆分，并重新整理：
f(x) = 2x^3 + ∑(n=1 to ∞) (n x^(n+3)) + ∑(n=1 to ∞) (2 x^(n+3))
= 2x^3 + ∑(n=1 to ∞) (n x^n x^3) + ∑(n=1 to ∞) (2 x^n x^3)
= 2x^3 + x^3 ∑(n=1 to ∞) (n x^n) + 2x^3 ∑(n=1 to ∞) (x^n)
现在我们可以看出，∑(n=1 to ∞) (n x^n) 是幂级数的和函数关于x的导数，记为 f'(x)。而 ∑(n=1 to ∞) (x^n) 是一个几何级数的形式，具有已知的和函数表达式，记为 S(x)。
根据这个结论，我们可以继续计算：
f(x) = 2x^3 + x^3 f'(x) + 2x^3 S(x)
至此，我们得到了幂级数的和函数 f(x) 的表达式，其中 f'(x) 是 f(x) 关于 x 的导数，S(x) 是几何级数的和函数。

Answer 2

∑(n+2) x^(n+3)
=x^4∑nx^(n-1) + 2x^3∑x^n
=x^4d(∑∫nx^(n-1)dx)/dx +2x^3/(1-x)
=x^4 d∑x^n/dx +2x^3/(1-x)
=x^4 d(1/1-x)/dx+2x^3/(1-x)
=x^4/(1-x)^2 +2x^3/(1-x)

Answer 3

幂级数∑(n+2)x^(n+3)的和函数为(2x^3-x^4)/(1-x)^2。

解：因为∑(n+2)x^(n+3)=(x^2)*∑(n+2)x^(n+1)，

令f(x)=∑(n+2)x^(n+1)，

那么∫(0,x)f(x)dx=∫∑(n+2)x^(n+1)dx=∑x^(n+2)，

而∑x^(n+2)=(x^2)*∑x^n=(x^2)/(1-x)，

即∫(0,x)f(x)dx=(x^2)/(1-x)，

那么f(x)=((x^2)/(1-x))'=(2x-x^2)/(1-x)^2，

那么∑(n+2)x^(n+3)=x^2*f(x)=(2x^3-x^4)/(1-x)^2。

即幂级数∑(n+2)x^(n+3)的和函数为(2x^3-x^4)/(1-x)^2。

扩展资料：

1、幂级数一般计算公式

（1）1/(1-x)=∑x^n=1+x+x^2+x^3+......+x^n+......，

（2）1/(1+x)=∑(-1)^n*x^n=1-x+x^2-x^3+......+(-1)^n*x^n+......，

（3）ln(1+x)=∑((-1)^n*x^(n+1))/(n+1)=x-x^2/2+x^3/3-......+((-1)^n*x^(n+1))/(n+1)+......

2、幂级数的和函数的性质

（1）幂级数∑an*x^n的和函数s（x）在其收敛域I上连续。

（2）幂级数∑an*x^n的和函数s（x）在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式。

（3）幂级数∑an*x^n的和函数s（x）在其收敛区间（-R，R）内可导，并有逐项求导公式。

参考资料来源：百度百科-幂级数