高二数学立体几何

Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，并且PD=a，PA=PC=根号2*a。
问：在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径

Answer 1

先说答案R2=（1-√2/2）a
这个题目无非是考虑两种
1.PBD的内切圆
2.PAC的内切圆
连接AC和BD相较于O
∵PA=PC=AC=√2*a 且OA=OC
∴PO垂直AC 在△PAC中容易算出PO=a*√6/2
∵PD=a，CD=a，PC=a*√2 ∴PD⊥PC
∵PD=a，AD=a，PA=a*√2 ∴PD⊥AD AD‖BC ∴PD⊥BC
所以PD⊥平面PBC 则PD⊥PB
PAC的内切圆半径容易（等边三角形）
R1=1/3*PO=a*√6/6
PBD的内切圆半径也好算（直角三角形）
R2=（1-√2/2）a
∵R2<R1 所以内切圆半径是R2

Answer 2

[a(3-√3)]/6

Answer 3

（2-根号2）/2*a