记F(x)=f[g(x)]——复合函数,则F(-x)=f[g(-x)],
如果g(x)是奇函数,即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)],
则当f(x)是奇函数时,F(-x)=-f[g(x)]=-F(x),F(x)是奇函数;
当f(x)是偶函数时,F(-x)=f[g(x)]=F(x),F(x)是偶函数。
如果g(x)是偶函数,即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x),F(x)是偶函数。
外奇内奇为奇,外奇内偶为偶,外偶内奇为偶,外偶内偶为偶。
扩展资料:
一、证明方法
1、利用奇偶函数的定义来判断(这是最基本,最常用的方法)定义:如果对于函数y=f(x)的定义域A内的任意一个值x,都有f(-x)=-f(x)则这个函数叫做奇函数f(-x)=f(x),则这个函数叫做偶函数
2、用求和(差)法判断:
若f(x)-f(-x)=2f(x),则f(x)为奇函数。
若f(x)+f(-x)=2f(x),则f(x)为偶函数。
3、用求商法判断
若
=-1,(f(x)≠0)则f(x)为奇函数
若
=1,(f(x)≠0)则f(x)为偶函数
二、常用结论:
(1)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性
偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性
(2)若f(x-a)为奇函数,则f(x)的图像关于点(a,0)对称
若f(x-a)为偶函数,则f(x)的图像关于直线x=a对称
(3)在f(x),g(x)的公共定义域上:奇函数±奇函数=奇函数
偶函数±偶函数=偶函数
奇函数×奇函数=偶函数
偶函数×偶函数=偶函数
奇函数×偶函数=奇函数
参考资料来源:百度百科—函数奇偶性