奇函数与偶函数相乘等于什么？

Question

如题所述

Answer 1

奇函数×偶函数等于一个奇函数

根据数学定义，奇函数与偶函数是函数的一类特殊性质。其中奇函数是指该函数满足 f(-x)=-f(x)，即在坐标系中以原点对称。而偶函数是指该函数满足 f(-x)=f(x)，即在坐标系中以y轴对称。那么当一个奇函数与一个偶函数相乘时，它们的积是否也具有这些性质呢？

首先，我们可以证明奇函数和偶函数的积一定是一个奇函数。假设f(x)是一个奇函数，g(x)是一个偶函数，那么它们的积可以表示为：

f(x)g(x)=f(x)g(-x)

因为g(x)是偶函数，所以g(-x)=g(x)，代入上式得到：

f(x)g(x)=f(x)g(x)

由于f(x)是奇函数，根据奇函数性质可得：

f(-x)=-f(x)

将其带入上式得到：

-f(-x)g(x)=f(x)g(x)

两边同时除以2得到：

-f(x)g(x)/2=f(x)g(x)/2

化简得到：

f(x)g(x)=-f(x)g(x)

因此，f(x)g(x)必定是一个奇函数，且在坐标系中以原点对称。