常见切线方程证明过程：
圆
若点M(x0,y0)在圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上,，
则过点M的切线方程为
x0 x + y0 y + D*(x+x0)/2 + E*(y+y0)/2 + F =0
或表述为:
若点M(x0,y0)在圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2上，
则过点M的切线方程为
(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2
若已知点M(x0,y0)在圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2外，
则切点AB的直线方程也为
(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2
折叠椭圆
若椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,点P(x0，y0)在椭圆上，
则过点P椭圆的切线方程为
(x·x0)/a^2 + (y·y0)/b^2=1.★yanji
证明:
椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2=1,切点为(x0,y0),则x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 ...(1)
对椭圆求导得y'=-b^2·x/a^2·y, 即切线斜率k=-b^2·x0/a^2·y0,
故切线方程是y-y0=-b^2·x0/a^2·y0*(x-x0),将(1)代入并化简得切线方程为x0·x/a^2+y0·y/b^2=1。
折叠双曲线
若双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1,点P(x0，y0)在双曲线上，
则过点P双曲线的切线方程为
(x·x0)/a^2 - (y·y0)/b^2=1..★
此命题的证明方法与椭圆的类似，故此处略之。
折叠抛物线
若抛物线的方程为y^2=2px(p>0), 点P(x0，y0)在抛物线上，则
过点P的抛物线的切线方程为
y·y0 = p·(x+x0)
此命题的证明方法亦与椭圆的类似，可设切线方程为y-b=k(x-a)
联立切线与抛物线。
y=k(x-a)+b
则
[k(x-a)+b]^2-2px=0
整理得
k^2x^2-(2k^2a+2p-2kb)x+k^2a^2+b^2-2kba=0
因为为相切，所以
△=0
则(2k^2a+2p-2kb)^2-4k^2*(k^2a^2+b^2-2kba)=0
可求得k=p/b。
代回y-b=k(x-a)
y=p(x-a)/b+b
曲线的切线方程也可以用导数求解。
更为简便的计算方法:
设切线方程为x-a=m(y-b)，联立切线与抛物线
y^2-2pmy+2pmb-2pa=0
△=0，p^2m^2-2pbm+2pa=0，解得m=b/p
切线方程:x-a=b/p(y-b),化简得by=p(x+a)
微积分方法:
在M(a,b)点斜率为
求导:
2yy'=2p
代入点(a，b)
则y'=p/b
所以切线为:y=p(x-a)/b+b
