如何证明X, Y独立？

Question

如题所述

Answer 1

假定X，Y的联合分布为 f_(X,Y)(x,y), 则因为 X与Y独立,
f_(X,Y)(x,y) = f_X(x) f_Y(y)

显然，随机向量(X^2, Y^2) 是 随机向量 (X, Y)的一个变换，则有：
f_(X^2,Y^2)(u,v) = f_(X,Y)(√u,√v) det A,
其中 A 为 (x, y) 到 (u, v)=(x^2, y^2) 的微分变换矩阵，因为 x^2只依赖于x， y^2只依赖于y，所以 A其实为对角矩阵，A11 = dx / du = 1/(2√u) ， A22 = dy / dv = 1/(2√v)，
所以 det A = A11 * A22 = 1/( 4√(uv) )
所以
f_(X^2,Y^2)(u,v) = f_(X,Y)(√u,√v) det A = f_X(√u) f_Y(√v) * 1/( 4√(uv) )
= 1/(2√u) f_X(√u) * 1/(2√v) f_Y(√v)
显然，这是两个函数的乘积，第一个函数只依赖于u，第二个函数只依赖于v，
所以 X^2与Y^2相互独立。

（矩阵A及其行列式被称为Jacobian，雅克比矩阵/行列式，如果想知道有关变换的话）

嗯，不要复杂。那就直接用一个结论。如果 X, Y独立，则 对于任意的函数 f 和 g，
f(X) ，g(Y)也都是独立的。 因为f(X) 只依赖于X，而g(Y)只依赖于Y。