幂级数的收敛半径和收敛域是什么？

Question

如题所述

Answer 1

三阶无穷小是：x-->0x是一阶无穷小，x^2是二阶无穷小，则x^3是三阶无穷小。

在x=0的领域作Taylor Expansion:

e^x=1+x+(1/2)x^2+ (1/6)x^3+...

1/(1+x)=1-x+x^{2}-x^{3}+...

要使得f(x)为x的三阶无穷小. 即是 f(x) 的 taylor expansion 正比于 x^{3}

f(x)=(1+2x+2x^{2}+(4/3)x^{3}+...)-(1+ax)(1-bx+b^{2}x^{2}-b^{3}x^{3}+...)

收敛半径和收敛区间：

幂级数的敛散性具有很好的特征，即所谓阿贝尔定理：如果幂级数在点x=k处收敛，那么它在区间内的每一点处都绝对收敛。

反之，如果幂级数在点x=k 处发散，那么对于不属于的所有x都发散。上面的定理使得幂函数的收敛域只能是一个开区间，称为幂级数的收敛区间。收敛区间的长度的一半称为收敛半径。应用对于正项级数的比值判别法和根值判别法的极限形式，可以求出幂级数的收敛半径。