如何证明一个向量空间的基

Question

如题。这两个小题要怎么证明B是V的BASIS？(或者B是不是V的Basis)

Answer 1

譬如：
就题目(a)来说，P1的一组baisis C={1,x}。
考虑B到C的过渡矩阵，即为A，则有B^T=A*(C^T)，其中A=(3，2；0，1)。
接着考虑A的行列式det(A)=3≠0，故A可逆。
所以B就是P1的一组basis。#

对于题目(b)，仿上题做法即可。追问

非常感谢，但是你提到的过度矩阵我有些不太明白。

还有一个问题就是

这两道题中我可以证明c问，B是V的Basis，但是，在d问中，有和c问相同的元素，这种情况下B能算是V的Basis么？就是说，如果只有一个元素组成的集合，能不能算是向量空间的Basis？

追答

c问得证，表明V是二维线性空间。
因此只有一个元素组成的集合永远不能是V的Basis。

若不用过渡矩阵的做法，可以套用定义证明，不过相对来说繁琐一些。