线性代数，关于向量空间的基的定义和证明的理解

Question

课本给出关于基的定义：
设V为向量空间，如果r个向量a1,a2,…,ar∈V，且满足：
（i）a1,a2,…,ar线性无关；
（ii）V 中任一向量都可由a1,a2,…,ar线性表示，
那么向量组a1,a2,…,ar就称为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的位数，并称V为r维向量空间。
问题：
1、条件（ii）中的“V 中任一向量”，这个“任一向量”包不包括作为基的向量组a1,a2,…,ar中的向量？
2、定义的意思是不是说要证明向量组a1,a2,…,ar为向量空间V中的一个基，是不是要证明向量组a1,a2,…,ar同时满足上面的两个条件（i）和(ii)？但我看到很多例题都是只证明向量组a1,a2,…,ar满足条件(i)就可以了，这是不是说明证明一个向量组是一个向量空间的基，只需证明这个向量组线性无关即可？
例如课本的一道例题，

答案：要证明a1,a2，a3是 R3的一个基，只要证a1,a2，a3线性无关，即只要证A~E。
这是不是说明只需证明向量组a1,a2,…,ar满足定义中的条件（i）即可证明它是向量空间中的一个基？
在此恳请高手详细指点，不胜感激O(∩_∩)O~

Answer 1

问题：
1、条件（ii）中的“V 中任一向量”，这个“任一向量”包不包括作为基的向量组a1,a2,…,ar中的向量？

包括。

2、定义的意思是不是说要证明向量组a1,a2,…,ar为向量空间V中的一个基，是不是要证明向量组a1,a2,…,ar同时满足上面的两个条件（i）和(ii)？

是的。把向量空间看做是向量组，那么基就是一个极大线性无关组，维数就是向量组的秩。
那么如果是告诉了向量空间维数是r，只需要证明a1，a2，...，ar是一个极大线性无关组即可，即证明a1，a2，...，ar是线性无关即可。

若没有告诉向量空间的维数，就需要证明满足（ii）。
例如 证明基础解系。

newmanhero 2015年7月28日09:29:57

希望对你有所帮助，望采纳。

Answer 2

【分析】
逆矩阵定义：若n阶矩阵A，B满足AB=BA=E，则称A可逆，A的逆矩阵为B。

【解答】
A³-A²+3A=0，
A²(E-A)+3(E-A)=3E，
(A²+3)(E-A) = 3E
E-A满足可逆定义，它的逆矩阵为(A²+3)/3

【评注】
定理：若A为n阶矩阵，有AB=E，那么一定有BA=E。

所以当我们有AB=E时，就可以直接利用逆矩阵定义。而不需要再判定BA=E。
对于这种抽象型矩阵，可以考虑用定义来求解。
如果是具体型矩阵，就可以用初等变换来求解。

线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。