矩阵乘积可交换，特征值与特征向量

设A与B是n阶实方阵，A有n个相异特征值，求证：
AB=BA的充分必要条件是A的特征向量都是B的特征向量

推荐答案 2014-05-10

证：因为A有n个相异特征值，所以A有n个线性无关特征向量，A可对角化。
一方面，若A的特征向量都是B的特征向量，则B有n个线性无关特征向量，B可对角化；
由n个线性无关特征向量构成的可逆矩阵记为P，则P-1AP与P-1BP都是对角矩阵，可交换，即P-1APP-1BP=P-1BPP-1AP，所以AB=BA。
另一方面，若AB=BA，可参见http://zhidao.baidu.com/question/175492407474693804.html?oldq=1

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