基本不等式是怎样的不等式

Question

如题所述

Answer 1

基本不等式（fundamental inequality）是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。

其表述为两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，表达式为(a+b)/2≥√(ab)。
文字叙述

两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

两类最值问题

具体来说，利用基本不等式求最值包括下面两种类型的题目：

已知x>0，y>0，则：

如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值。(简记：积定和最小)

如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值。(简记：和定积最大)

两大技巧

“1”的妙用。题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。

调整系数。有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。

公式

当且仅当时取等号

其中称为的算术平均数，称为的几何平均数。

变形

当且仅当时取等号

二元均值不等式

(调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)当且仅当a=b时等号成立

2证明编辑
算术证明

当时，两边开平方

因为，所以当且仅当时，不等式取等号。

几何证明

在中，，点为的中点，为高，设，

由射影定理，得

基本不等式的几何证明
基本不等式的几何证明

在中，点为斜边的中点

中，

当且仅当与重合，即时等号成立

3推广编辑
一般地，若是正实数，则有均值不等式

当且仅当时取等号

4应用编辑
和积互化

和定积最大

当一定时，且当时取等号

积定和最小

当一定时，且当时取等号

Answer 2

基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。“一正”就是指两个式子都为正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指当且仅当两个式子相等时，才能取等号。
两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
两类最值问题
具体来说，利用基本不等式求最值包括下面两种类型的题目：
已知x＞0；y＞0，则：
如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值。(简记：积定和最小)
如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值。(简记：和定积最大)
两大技巧
“1”的妙用。题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
调整系数。有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。