楼上的做法不错,我再提供另外一种做法。
实对称矩阵正交相似(你说正交合同也行)于对角型。于是存在正交矩阵T以及对角矩阵B使得A=T'BT.
A^2=(T'BT)(T'BT)=T'B^2T.于是条件A^2=A转化为B^2=B.注意到B是对角矩阵且对角线上的元素恰为A的特征值,设B=diag(k1,k2,...,kn)(这个记号你看得懂吧?)于是A的全部特征值为k1,k2,...,kn(含重复的),由B^2=B得ki^2=ki(i=1,2,...n).解得ki=1或ki=0所以A的特征值只能为1或0。证毕
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