二阶混合偏导数的意义?

Question

二阶混合偏导数的意义?1.以及几何意义
2.带图
以上两点满足一点加分
不需要复制的谢谢

Answer 1

下面的说法是个人研究，不敢保证绝对正确，仅供大家参考。

首先一阶偏导，以z=f(x,y)例，是固定一个元的值，专门以研究另外两个元的变化关系，与物理的控制变量法相似。原本函数f代表了一个曲面，当一个元比如y固定的时候，就会在曲面上截出一条曲线，所以z=f(x,y0)就代表了这条曲线，如图：

图1

蓝色实线就是这条曲线，此时若对其求导，就是求这条曲线的导函数，即一阶偏导fx(x,y0)。

而一阶偏导即这个曲线的导函数，是一条新曲线。

二阶偏导数，就是建立在这个新曲线的基础之上。

若不是混合偏导数，比如fxx(x,y),就是对x再求一次导，即导函数的导函数，即蓝实线的导函数。

若是混合偏导数，比如fxy(x,y),首先,当我们先求出一阶偏导fx(x,y0)后，接下来就要对y求导了吧？而按照求一阶偏导的规矩,应该先固定那个不研究的元，在这里即固定x，而对y的固定这时应该解固了，就是说，原本的蓝实线的导函数(一阶偏导)就不再有y0固定它了，意味着这个新曲线可以按照y轴的伸展方向无限延展，从而形成一个新的曲面，如图：

即黑色平面，同时由于x的固定，又会截出一条曲线，即粉实线。固定之后求导，即二阶混合偏导数，即粉实线的导数。

而二阶偏导数之所以没有出现x0,y0等字眼，我想应该是因为x等先固定又解固，无法准确的用一个x0代表两个相反过程。而二阶非混合偏导数，其中一个元一直是固定的，我想应该是可以写成y0或是x0，不过被省略了，在求导过程中把这些被固定的x,y当成常数来处理也证实了这一点。

以上的说法仅是个人的研究，不敢说是绝对正确，只是希望自己的见解能够帮到大家，给大家一点参考作用而已，非常欢迎大家能帮我指正其中的错误与不足，谢谢。

Answer 2

这个问题很好理解，我来回答你。首先你要理解偏导数的几何意义，不然你是无法理解混合偏导数的意义的。混合偏导数的几何意义是x方向y偏导数的变化速度，或者y方向x偏导的变化速度。举个形象的栗子吧，你在山上环山走，不是直上直下走，而是环着走，这就是混合偏导的感觉。
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至于为什么相等，那就更简单了啊。首先划归到最简单形式xy混合求导是1，我们不完全推广一下，fxfy偏求导是f'xf'y。本质原因yx是平等关系，而不是y是x的函数，对一方求导另一方不受影响。举个例子也很简单，先做数学先做语文都是一样，到了最后都是全部做完了作业。

Answer 3

对x的偏导是在某一固定y0截面与曲面交线的斜率，二阶混合偏导可以这样理解，就讲一种先导x再导y的吧，导x以后几何意义在开头已经说了。那么导y的几何意义就是说在针对最初的固定y方向曲线的斜率求偏导。思维转换下，把之前对x的偏导作为原函数，它的点x.y得到的函数值是针对x方向的初始函数的斜率 （对，就是说它可以求曲面上任意一点的x方向的斜率）那么再对y方向的偏导的意义就是在某个固定y值方向的每一点x方向斜率的斜率，也就是该点x方向斜率的变化快慢。同理，先导y再导x的意义就是某固定x方向对y方向斜率的增长速率。至于混合二阶偏导在定义域内连续就相等的意思，我认为就是说在任意连续点上，它y方向的斜率的x方向的斜率与x方向斜率的y方向的斜率相等。具体为何我也没想清楚，应该与条件中的连续有关

Answer 4

首先导数在几何意义上就是斜率，也就是图形的变化趋势。
纯二阶偏导fxx (x,y）表示图形在x方向上的斜率在x方向上的变化率（变化趋势）。
混合偏导fxy（x，y）表示图形在x方向上的斜率在y方向上的变化率（变化趋势）。
注：图形在x，y方向上的变化趋势是有区别的。

Answer 5

网页链接

另一个人问了，被回答了。去看看吧。

感觉答得挺好的，但是我没看懂