（一）分析法证明不等式 1．定义 从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种证明方法通常叫做分析法证明不等式. 2．用分析法论证“若A则B”这个命题的模式是： 为了证明命题B为真， 只需证明命题B 1 为真，从而有…… 只需证明命题B 2 为真，从而又有…… …… 这只需证明命题A为真. 而已知A为真，故B必真. 可见分析法是执果索因.步步寻求上一步成立的条件，它与综合法是对立统一的两种方法. 3．用分析法证明不等式的逻辑关系是 结论：步步寻求不等式成立的充分条件 已知 4．实例讲解 分析： 对于比较法和综合法都不太容易入手解决这类问题.因此，采用分析法. 对于这个题目我们用综合法来证明上述不等式，则应写为下面的形式. 对于分析法的证明问题，我们有以下几点的说明： 1．有些不等式直接运用综合法往往不易得手，我们可以用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，也就是通常所说的：用分析法去想，用综合法去写.所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的. 2．运用分析法证题是初学者的一个难点，一是难在开始不易理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件.二是难在分析法的正确的书写格式要求学生正确使用连接有关步骤的关键词.如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定……成立”等，不能图省事少写或不写，否则就不是分析法了. 3．分析法是证明不等式的一种常用的基本方法.当证明不知从何下手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效. （二）用反证法证明不等式 例2． 已知 a+b+c>0, abc>0, ab+bc+ca>0 求证：a>0, b>0, c>0 证明：我们用反证法来证明 假设a>0不成立，则有: a<0或a=0 1）当a<0时 则由abc>0可推出bc<0 又由a+b+c>0知b+c>-a>0 于是ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0 与ab+bc+ca>0矛盾 2）当a=0时，则abc=0与abc>0矛盾 ∴假设a>0不成立是错误的. ∴a>0成立 同理可证：b>0, c>0 说明： 用反证法证明，是从结论的反面出发，要求结论的特征是可数的.即实数a只能有三种情况：a>0，a=0，a<0，而要证明a>0成立，只需否定a<0，a=0.具体的证明是在a<0与a=0的两种情况下分别推出与已知的矛盾.因此，说明假设是不成立的，因而只能有a>0的成立. （三）变量替换法证明不等式 例3 ．已知：a 2 +b 2 =1, x 2 +y 2 =1 求证：-1≤ax+by≤1 分析： 在三角公式sin 2 α+cos 2 α=1在解决实际问题中是经常遇到的.而题目的已知条件与上述分式类似，因此，我们可以考虑三角变换. 证明：设a=cosα, b=sinα, x=cosβ, y=sinβ 则ax+by=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β) ∵|cos(α-β)| ≤1 ∴|ax+by|≤1 即-1≤ ax+by≤1 （四）用放缩法证明不等式 放缩法证明不等式是对所要证明的不等式的一边的式子的值采取放大（或缩小）的办法，使之由繁化简，达到证明的目的.在这里我们只介绍较简单的放缩.如果所要证明的不等式中含有公式，那么我们把分母放大，则分式的值缩小.反之如果把分母缩小，则分式的值扩大.这也是一种常用的放缩方法. 例4 ．已知：a,b,c,d∈R + 顺着这种思路，我们把前二项的分母变成a+b，后二项的分母变成c+d则分母变小，分式的值变大. 对于放缩法有的时对于对数的有关性质的运用，对于一些证明有关对数的不等式还是非常的方便. 求证：log 2 3>log 3 4 证明：∵log 2 3=log 8 27>log 9 27 又∵log 3 4=log 9 16 而log 9 27>log 9 16 ∴log 2 3=log 8 27>log 9 27>log 9 16=log 3 4 即log 2 3>log 3 4 说明： 放缩法让不等式有时不好控制，放的太大，缩的太小，都不利于不等式的证明.而适合的放缩有时又不太好掌握.因此，在目前阶段只要求对放缩法有所了解即可.在今后的学习中我们还需要不断地加紧理解才能使这种方法使用的变的较为熟练. [典型例题讲解] 1．已知：a,b,c∈R + 证明：我们选择用分析法的证明方法 由于以上分析法已经为我们探索了证题的途径.因此，我们还可以选择综合法来证明. 另法证明： 分析： 这个不等式左边既有公式，又有整式，右边是常数1.直接证明不好入手.对于这样条件简单而结论复杂的题目，我们选择分析法往往能实现行之有效，再配以适当的放缩，便可化繁为简，得出所要的证明. 3．已知：x+y+z=1 分析： 这道题我们曾经用比较法证明过. 当时的证明方法是让 分析： 要证明不等式中带有根号，且两边都是因式的乘积形式，如果选用综合法证明是不太容易，因此，我们选用分析法证明. 证明： 5．已知：x,y,z为不全相等的非负实数 [练习题及答案和思路点拨] A组 3．用三种方法证明： 已知：a,b是正数且a≠b 求证：a 3 +b 3 >a 2 b+ab 2 B组 8．已知：a,b,c为互不相等的正数，且a,b,c成等比数列. 求证：(a-c) 2 +b 2 >(a-b+c) 2 答案及思路点拨 A组 1．用分析法证明 3．用比较法证明，作差，因式分解. 证明略. 用综合法证明： 可以由∵a≠b ∴(a-b) 2 >0入手进而结合比较法所得的因式分解的式子，使结论产生. 用分析法证明过程略. 5．用反证法 B组 8. 利用分析法证明 要证: (a-c) 2 +b 2 >(a-b+c) 2 只需: a 2 -2ac+c 2 +b 2 >a 2 +b 2 +c 2 -2ab+2ac-2bc 即证: 2ab+2bc>4ac 即ab+bc>2ac (*) 9. 9用综合法和放缩法完成这个证明 ∵x+y+z=2 ∴x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2yz+2zx=4 ∵x 2 +y 2 ≥2xy z 2 +x 2 ≥2zx y 2 +z 2 ≥2yz ∴3(xy+yz+zx) ≤4 ∵0<x<1 0<y<1 0<z<1 ∴1-x>0, 1-y>0, 1-z>0 ∴(1-x)(1-y)(1-z)>0 ∴1-x-y+xy-z+xy+yz-xyz>0 ∴xy+yz+zx>x+y+z+xyz-1=2+xyz-1=1+xyz>1 ∴xy+zy+zx>1得证. 到这里发表评论 上一篇文章： 没有了 下一篇文章： 变用重要不等式a2+b2≥2ab 举例
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考