求解分段函数的八类问题
甘肃张掖二中 彭万坤
分段函数作为特殊的函数,是高考数学中的一个难点,同时也是高考必考内容之一.本文就分段函数的有关问题的求解策略进行整理.归纳.
所谓“分段函数”,是指在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数,对它的理解应注意两点：
（1）\x09分段函数是一个函数,不要误认为是几个函数；
（2）\x09分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
一．求分段函数的函数值
求分段函数的函数函数值时,首先应确定自变量在定义域中的范围,然后按相应的对应法则求值.
例1.已知函数 求 （a＜0）.(答案为 )
例2.已知函数 （n∈N）则f（5）= .
(答案为8)
二．求分段函数的解析式
若所求函数的解析式在其定义域内所分区间内的对应法则不同,应分段来求函数的解析式.本类型题多与所给自变量的分类有关.
例3．已知奇函数f(x) （x∈R）.当x＞0时,f（x）=x（5-x）.求f（x）在R上的解析式. (答案为 )
例4．若函数f(x)=1-2a-2a��cosx-2(sinx)2的最小值为g(a). 求g(a)的解析式.
解析: 由 f(x)=-1-2a-2a��cosx+2(cosx)2 若令cosx=t
则 f(t)=2t2-2at-2a-1. 且 t∈[-1,1]
在此属于二次函数定区间动轴问题,利用分类讨论的思想和数形结合的思想求其最小值g(a)的解析式. 有
三．分段函数的图象
例5.若方程 有四解,
则实数k的取值范围是 . 0
解析: 如图可得 o 评析: 若有三解呢? (k=4)； 若有两解呢? (k>4或k=0)
四．求分段函数的自变量的值或范围
在求分段函数的自变量的值或范围时,根据分类讨论的思想需列方程组或不等式组求解.
例6. 在例4的问题中: 若已知g(a)= , 求a的值.
解析: 根据题意有 或
解得: a=1
例7. 已知函数 若f(x0)>1, 则实数x0的取值范围是 .
解析: 根据题意有 或 解得:x0>1或x00, x=0, x
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