分部积分法？

Question

求过程数学大佬们看图片

Answer 1

分部积分法是求不定积分和定积分的一种方法。

分部积分法一般适用于两种不同类函数乘积的积分。

分部积分法的第一步是凑微分，第二步是用分部积分公式。即

对于题主给出的 ∫xln(1+x)^(1/3)dx 积分，可以这样来求解。

把xdx看成1/2d(x²)，则

∫xln(1+x)^(1/3)dx

=1/2∫ln(1+x)^(1/3)d(x²)

=x²/2ln(1+x)^(1/3)-1/2∫x²(ln(1+x)^(1/3))'dx

=x²/2ln(1+x)^(1/3)-1/6∫x²/(1+x)dx

=x²/2ln(1+x)^(1/3)-1/6∫(x-1/(1+x))dx

=x²/2ln(1+x)^(1/3)-1/6∫(xdx-1/6∫1/(1+x)dx

=x²/2ln(1+x)^(1/3) -1/12x²+1/6 ln(1+x)+C

Answer 2

分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀

Answer 3

详情如图所示:

供参考，请笑纳。

Answer 4

定义域 x > -1.
∫xln(1+x)^(1/3)dx = (1/3)∫xln(1+x)dx = (1/6)∫ln(1+x)d(x^2)
= (1/6)[x^2ln(1+x) - ∫x^2dx/(1+x)]
= (1/6)x^2ln(1+x) - (1/6)∫(x^2+x-x-1+1)dx/(1+x)
= (1/6)x^2ln(1+x) - (1/6)∫[x-1+1/(1+x)]dx
= (1/6)x^2ln(1+x) - x^2/12 + x/6 - (1/6)ln(1+x) + C

Answer 5

利用lnx^n=nlnx
原式=(1/3)∫xln(1+x)dx
=(1/6)∫ln(1+x)d(x²)
=(1/6)x²ln(1+x)-(1/6)∫x²d(1+x)
=(1/6)x²ln(1+x)-(1/6)∫x²dx/(1+x)
=(1/6)x²ln(1+x)-(1/6)(x²-1+1)dx/(1+x)
(1/6)x²ln(1+x)-(1/6)∫(x-1)dx-(1/6)∫dx/(1+x)
=(1/6)x²ln(1+x)-(1/12)x²-x/6-(1/6)ln(1+x)+C