初三数学题,求解。关于圆

Question

如图，∠AOB=60°，点p是半径为2的弧AB上的动点，点M,N分别在半径OA OB上，求△PMN的周长最小值。。

Answer 1

解：

做点P关于OA和OB的对称点D和C

很显然，点C和点D都在圆O上。

∵DM=PM，CN=PN

∴△PMN周长=MN+PM+PN

                      =MN+DM+CN

                      >=CD

当且仅当C、D、M、N共线时，周长

取得最小值CD

∵点P和点C关于OB对称

∴∠POB=∠COB

同理：∠POA=∠DOA

∴∠COD=2∠POA+2∠POB

=2∠AOB=120°

∵OD=OC=OB=OA=R=2

解得：CD=2√3

∴△PMN的最小周长为2√3

Answer 2

P1是P关于AO的对称点，P2是P关于OB的对称点，这两点都在圆上，
而△MNP的边长通过图可以看出是大于等于P1P2的，所以P1P2就是最小值
而弧P1PP2的弧长对应的圆心角是120°（这是因为弧P1P2的弧长是2倍的弧APB），
圆的半径为2，所以P1P2的长度是2√3，所以最小值是2√3