如何求向量夹角的余弦值？

Question

如题所述

Answer 1

1. 定义法

设两个向量为A和B，它们的夹角为θ。首先，需要计算出两个向量的模长（长度）|A|和|B|。然后，将两个向量的点积除以它们的模长的乘积，即：cosθ = (A·B) / (|A||B|)。其中，A·B表示向量A和B的点积，可以使用定义式或者坐标计算得出。最后，根据反余弦函数的定义，可以得到夹角θ的余弦值cosθ。

2. 坐标法

若已知两个向量的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则可以通过以下公式求出它们之间的夹角θ的余弦值cosθ：

cosθ = (x1*x2 + y1*y2) / (sqrt(x1^2+y1^2) * sqrt(x2^2+y2^2))

3. 几何法

可以将两个向量放在一个平面直角坐标系中，然后通过计算它们所在直线的斜率和反比例系数来求得夹角θ的余弦值cosθ。具体步骤如下：

(1)在坐标系中绘制出两个向量所在的直线；

(2)根据直线的斜率公式求出两个向量所在直线的斜率k；

(3) 根据直线的反比例系数公式求出两个向量所在直线的反比例系数m；

(4)最后，根据直线的斜截式方程y=kx+m，可以求出直线与x轴正方向的夹角θ的正切值tanθ，进而得到夹角θ的余弦值cosθ = sqrt(1-tan^2θ)。

Answer 2

设a,b是两个不为0的向量，它们的夹角为<a,b> (或用α ,β, θ ,..,字母表示)

1、由向量公式：cos<a,b>=a.b/|a||b|.①

2、若向量用坐标表示，a=(x1,y1,z1), b=(x2,y2,z2),

则,a.b=(x1x2+y1y2+z1z2).

|a|=√(x1^2+y1^2+z1^2), |b|=√(x2^2+y2^2+z2^2).

将这些代入②得到：

cos<a,b>=(x1x2+y1y2+z1z2)/[√(x1^2+y1^2+z1^2)*√(x2^2+y2^2+z2^2)] ②

上述公式是以空间三维坐标给出的，令坐标中的z=0,则得平面向量的计算公式。

两个向量夹角的取值范围是：[0,π].

夹角为锐角时，cosθ>0；夹角为钝角时,cosθ<0.

扩展资料

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。

 为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量  。

由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数（x,y），使得  ，因此把实数对  叫做向量  的坐标，记作  。这就是向量  的坐标表示。其中  就是点  的坐标。向量  称为点P的位置向量。

参考资料：百度百科-向量