函数积分和原函数的问题

Question

设f(x)在[a,b]上连续，则F(X)=∫f(t)dt (a≤x≤b) {上限是x，下限是a}
是f(x)的一个原函数 为什么

Answer 1

因为F'(x)=f(x)
原函数的定义是求导后可以得到目标函数的函数。
正好F'(x)=【∫f(t)dt】'=f(x)
一般来说这种变上限积分都是积分号内函数的一个原函数。
原函数不是唯一的，不同原函数之间只相差一个常数C。

Answer 2

对F(X)求导就知道了，

F(x+Δx)-F(x)=∫f(t)dt {上限是x+Δx，下限是x};

利用积分中值定理，F(x+Δx)-F(x)=∫f(t)dt=f(ξ)Δx;

F'(x)=lim[F(x+Δx)-F(x)]/Δx=limf(ξ)Δx/Δx=limf(ξ) Δx>>>>0;
=f(x);

因此F（x）是f(x)一个原函数。本回答被网友采纳