线性代数-行列式的计算问题

Question

第一题：
|0 0 ... 0 a1|
|a2 0 ... 0 0 |
|0 a3 ... 0 0 |
|： ： ... : : |
|0 0 ...an 0 |
上面的n阶行列式教材给出的参考答案是（-1）^n+1 a1a2...an
但是将第一行的a1放到外面，乘以它的代数余子式，（-1）的指数是行数加列数，第1行，第n+1列不是吗？最终是（-1）的n+2次方，虽然n可以代表任何实数，但同一题中n+1不等于n+2吧？
第二题：
|a 0 0 ... 0 b|
|b a 0 ... 0 0|
|0 b a ... 0 0|
|: : : ... : : |
|0 0 0 ... a 0|
|0 0 0 ... b a|
请问这个n阶行列式完整解题步骤是怎样的？（只用二、三阶行列式运算法则，n阶行列式定义而不用行列式性质及其他线性代数的解题方法，因为这个题是n阶行列式定义练习题，在性质之前，教材的参考答案是a^n+(-1)^n+1 b^n）

Answer 1

第一题：
你说错了“第1行，第n+1列不是吗？”
没有n+1列啊，是第n列
第二题：
按行列式定义
n阶行列式一共有n!项
每项都包含每行、每列的元素
所以三角形行列式除了对角线这一项其他都是0
这题就是三角形行列式啊追问

第一题中an是第n行第n列，a1位于an后一列，请问为什么列数不是n+1呢？
第二题：
三角形行列式的值等于它主/副对角线上n个元素的乘积，如果这个是三角形行列式，那么它的值是a^n，可是教材的参考答案是a^n+(-1)^n+1 b^n），我算的结果比参考答案多两项，却不知道错在哪里，但我认为这个不是三角形行列式
附带问一句，n！项是什么意思？书上也是这么写的，不太明白这个感叹号的意思？