高等数学 证明函数是常数的问题

Question

题目：函数f(x)在（a,b）内有定义，且当x1,x2为（a,b）内任意两点时，恒有|f(x2)-f(x1)|=<(x2-x1)^2,证明f(x)在（a,b）内是常数。

这是“函数极限与连续”章节的题目，但是想不出来怎么做，还请高手指教，多谢！

Answer 1

你可以这么考虑，x2=x1+Δx,
得到0=<|f(x1+Δx)-f(x1)|<=Δx^2
当Δx趋于零时，夹逼定理证其连续。
接下来用用定义求导的方法证明其是常数
由导数定义任意一点导数的绝对值|f'(x)|=|f(x+Δx)-f(x)|/|Δx|当Δx趋于零的极限
还是由夹逼定理
因为=0<|f(x+Δx)-f(x)|/|Δx|<=Δx
当Δx趋于零的时候，有f'(x)=0，任意处导数都为零
得到f(x)为常函数