设连续函数f(x)满足f(x)=e^x+∫(0,x)f(t)dt,求f(x)

Question

如题所述

Answer 1

对已知式求导得f'(x)=e^x+f(x),设y=f(x),得
y'-y=e^x,①
由y'-y=0得y=ce^x
设y=c(x)*e^(x),则y'=[c'(x)+c(x)]e^x
代入①，c'(x)=1
c(x)=x+c,
∴f(x)=(x+c)e^x
代入已知式，(x+c)e^x=e^x+∫<0,x>[(t+c)e^t]dt
=e^x+（x+c-1）e^x+c-1
比较得c=1
∴f(x)=(x+1)e^x追问

哈哈😂圈1下一行的 咋得啊

追答

解释起来比较麻烦，如果你有高数的书的话，参考常系数线性非齐次方程的解
大体上是先考虑 y'-y=0的解，在考虑非齐次项e^x在通解里的表现形式。

Answer 2

由于定积分是个 “数” 所以
设A=∫(0_x) f(t)dt 则f(x)=e^x+A
A=∫(0_x) e^t+A dt
解出来A这个数 就行了追问

是哦 我不会才问的