书上有一道题，题中对有相同被积函数的不定积分与定积分的运算为什么有些差异？

Question

书上有一道题，题中对有相同被积函数的不定积分与定积分的运算有些差异：
不定积分未考虑被积函数的分子与分母同除以（cosx）^2时，（cosx）^2=0的这种无意义的情况，而定

积分却考虑了被积函数的分子与分母同除以（cosx）^2时，（cosx）^2=0的这种无意义的情况。为什么

会有这种差别？

因为这题目比较复杂，我拍成照片放在了网易相册里了：
http://photo.163.com/photo/caolei895/?u=caolei895#m=2&ai=58735308&pi=2615670022&p=1

我的问题是：在上面的照片里，黑色的为书上的原话，红色为我的疑问：书上说：“计算不定积分中，

这个答案就可以了”为什么这样说，这个答案就算可以了？而如下的定积分的运算就那么麻烦。如果说

定积分要考虑（cosx）^2=0这种瑕点，从而考虑广义积分的问题，为什么与其有相同被积函数的不定积

分却不考虑被积函数的分子与分母同除以（cosx）^2时，（cosx）^2=0的这种无意义的情况？
请详细解答我的疑问，如果用图片说明，则更好，谢谢！

注：下面这张图片是书上对这题中定积分的计算解答，也放在了网易相册里了：
http://photo.163.com/photo/caolei895/?u=caolei895#m=2&ai=58735308&pi=2615653163&p=1

Answer 1

简单的说，不定积分的各种变化（比如奇点、瑕点）包括在常数C中。尽管分子分母同除cos，但在pi/2点的（左、右）极限还是连续并等同原被积函数。

而定积分因为其是数值的原因，在奇点（或瑕点）的变化要定量分析出来，所以必须单独列出来。

Answer 2

不定积分无所谓啊
由于结果是个带C函数式
C取值具有任意性的
即使出现tanx为无穷的情况也没事
外面有个arctan 最终结果是有限的

定积分不一样了 由于没有那个C
最终结果是一个确定值 而不是一个带C函数式
因此不能出现tanx无意义的情况

你可以这么理解：不定积分结论是一个原函数
原函数只要保证连续大前提即可（本题可以保证）
定积分结论是一个数 是必须要有意义的

Answer 3

可以把定积分看成两步，先求不定积分，再代入值。
不定积分时所涉及的运算都要有意义，所以实际上（cosx）^2=0的情况不需要考虑，应为在需要具体值运算的时候自然而然会讨论。

Answer 4

这个题的实质是：
认真体会我的分析
书上的不定积分和定积分的计算都是完全正确的。
一步一步看下去
不定积分求原函数的过程没有错
关键是定积分，这是一个必须要分段积分的例子。为什么呢？也就是什么时候必须对定积分分段积分呢？这个属于被积函数在积分区间上原函数分段表示的情况！
在计算定积分到最后一步前都没问题，最后在用牛顿莱布尼茨公式的时候如果直接往里带上下积分限就会得0，而如果你熟悉定积分的性质，你会发现被积函数非负连续，定积分应该为正数。为什么会出错，原因就在于错用牛顿莱布尼茨公式！你仔细看下这个公式的前提条件，是不能直接带上下积分限的。因为在区间中有一点上原函数没定义！（tanx在2分之派没定义）此时就要以这点为分段点进行分段定积分。在分段积出原函数后没定义的那点用取极限的方式取代直接代入计算即可（也就是用了推广后的牛顿莱布尼茨公式）
希望你明白了！