二阶常微分方程有哪些形式？

Question

如题所述

Answer 1

二阶常系数齐次线性方程的形式为：y''+py'+qy=0其中p，q为常数，其特征方程为 λ^2+pλ+q=0依据判别式的符号，其通解有三种形式：

1、△=p^2-4q>0，特征方程有两个相异实根λ1，λ2，通解的形式为y(x)=C1*[e^(λ1*x)]+C2*[e^(λ2*x)]；

2、△=p^2-4q=0，特征方程有重根，即λ1=λ2，通解为y(x)=(C1+C2*x)*[e^(λ1*x)]；

3、△=p^2-4q<0，特征方程具有共轭复根α+-(i*β),通解为y(x)=[e^(α*x)]*(C1*cosβx+C2*sinβx)。

最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。

扩展资料：

偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中。

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。

参考资料来源：百度百科--微分方程

Answer 2

解:大部分二阶微分方程没有通解，只有特殊形式的二阶微分方程有通解。
解微分方程为xy"+(x+4)y'+3y=4x+4，假设微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的特解为y=xʳ，将特解带入方程，有x(xʳ)"+(x+4)(xʳ)'+3xʳ=0，r(r-1)xʳ⁻¹+r(x+4)xʳ⁻¹+3xʳ=0，r(r-1)xʳ⁻¹+4rxʳ⁻¹+rxʳ+3xʳ=0，(r²+3r)+(r+3)x=0，(r+3)(r+x)=0，得：r=-3，则微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的特解为y=x⁻³，再设微分方程的通解为y=x⁻³u，有x(x⁻³u)"+(x+4)(x⁻³u)'+3x⁻³u=0，x(x⁻³u"-3x⁻⁴u'-3x⁻⁴u'+12x⁻⁵u)+(x+4)(x⁻³u'-3x⁻⁴u)+3x⁻³u=0，x(x⁻³u"-6x⁻⁴u'+12x⁻⁵u)+(x+4)(x⁻³u'-3x⁻⁴u)+3x⁻³u=0，x²u"-6xu'+12u+(x+4)(xu'-3u)+3xu=0，x²u"+(x²-2x)u'=0，u"×eˣ/x²+eˣ(1/x²-2/x³)u'=0，(u'eˣ/x²)'=0，u'eˣ/x²=a(a为任意常数)，u'=ax²e⁻ˣ，u=-ax²e⁻ˣ-2axe⁻ˣ-2ae⁻ˣ+c(为任意常数)，微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的通解为y=(-ax⁻¹-2ax⁻²-2ax⁻³)e⁻ˣ+cx⁻³(c为任意常数)；设原微分方程的特解为y=px+q，有p(x+4)+3(px+q)=4x+4，4px+4p+3q=4x+4，有4p=4，4p+3q=4，得：p=1，q=0，微分方程的特解为y=x，通解为y=(-ax⁻¹-2ax⁻²-2ax⁻³)e⁻ˣ+cx⁻³+x