如图的环状轨道处于竖直面内，它由半径分别为R和2R的两个半圆轨道、半径为R的两个四分之一圆轨道和两根长

Question

如图的环状轨道处于竖直面内，它由半径分别为R和2R的两个半圆轨道、半径为R的两个四分之一圆轨道和两根长度分别为2R和4R的直轨道平滑连接而成．以水平线MN和PQ为界，空间分为三个区域，区域Ⅰ和区域Ⅲ有磁感应强度为B的水平向里的匀强磁场，区域Ⅰ和Ⅱ有竖直向上的匀强电场．一质量为m、电荷量为+q的带电小环穿在轨道内，它与两根直轨道间的动摩擦因数为μ（0＜μ＜1），而轨道的圆弧形部分均光滑．将小环在较长的直轨道CD下端的C点无初速释放（已知区域Ⅰ和Ⅱ的匀强电场场强大小为E= 2mg q ，重力加速度为g），求：（1）小环在第一次通过轨道最高点A时速度vA的大小；（2）小环在第一次通过轨道最高点A时受到轨道压力？（3）若从C点释放小环的同时，在区域Ⅱ再另加一垂直于轨道平面向里的水平匀强电场，其场强大小为E′= mg q ，则小环在两根直轨道上通过的总路程多大？

Answer 1

（1）从C到A，洛伦兹力不做功，小环对直轨道无压力，也就不受轨道的摩擦力．由动能定理，有：        qE?5R-mg?5R= 1 2 m v 2A   可得：v A = 10gR        （2）过A点时，研究小环，由受力分析和牛顿第二定律，有：      F N +mg-qv A B-qE=m v 2A R   解得  F N =11mg+qB 10gR   方向向下      （3）由于0＜μ＜1，小环必能通过A点，以后有三种可能： ①有可能第一次过了A点后，恰好停在K点，则在直轨道上通过的总路程为：S 总 =4R ②也有可能在水平线PQ上方的轨道上往复若干次后，最后一次从A点下来恰好停在K点，对整个运动过程，由动能定理，有：qE?3R-mg?3R-μqE′S 总 =0   得：s 总 = 3R μ ③还可能最终在D或D′点速度为零（即在D与D′点之间振动），由动能定理，有：    qE?4R-mg?4R-μqE′S 总 =0得：s 总 = 4R μ 答：（1）小环在第一次通过轨道最高点A时速度v A 的大小= 10gR ；    （2）小环在第一次通过轨道最高点A时受到轨道压力为11mg+qB 10gR ，方向向下．    （3）①有可能第一次过了A点后，恰好停在K点，S 总 =4R；         ②也有可能在水平线PQ上方的轨道上往复若干次后，最后一次从A点下来恰好停在K点，s 总 = 3R μ         ③还可能最终在D或D′点速度为零（即在D与D′点之间振动），s 总 = 4R μ ．