（2012?成都）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为

Question

（2012?成都）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若KG2=KD?GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=35，AK=23，求FG的长．

Answer 1

解：（1）如答图1，连接OG．
∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，
又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．

（2）AC∥EF，理由为：
连接GD，如答图2所示．
∵KG²=KD?GE，即

KG

KD

=

GE

KG

，
∴

KG

GE

=

KD

KG

，又∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C，
∴AC∥EF；

（3）连接OG，OC，如答图3所示．
sinE=sin∠ACH=

3

5

，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，
∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK-CH=t．
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH²+HK²=AK²，
即（3t）²+t²=（2

3

）²，解得t=

30

5

．
设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，
由勾股定理得：OH²+CH²=OC²，
即（r-3t）²+（4t）²=r²，解得r=

25

6

t=

5 30

6

．
∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，
在Rt△OGF中，OG=r=

5 30

6

，tan∠OFG=tan∠CAH=

CH

AH

=

4

3

，
∴FG=

OG

tan∠OFG

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