一道抛物线的问题（直线与其切线）

Question

抛物线方程为x2=2px（p>0），过点M（2，-2p）引抛物线的切线，切点分别为A、B，|AB|=4倍根号10，求抛物线的方程。

Answer 1

【注：（1）题可能是抛物线x²=2py.(p＞0).(2)用参数法】解：可设点A(2pa,2pa²),B(2pb,2pb²).则抛物线过点A,B的切线方程分别是：2ax-y=2pa²,2bx-y=2pb².解这个关于x,y的二元一次方程组，得x=p(a+b),y=2pab.∵两条切线交于点M(2,-2p).∴p(a+b)=2,ab=-1.又∵|AB|=4√10。∴(2pa-2pb)²+(2pa²-2pb²)²=160.===>p=1.∴抛物线方程为x²=2y.