设e^z-xyz=0，求(偏z^2/偏x偏y)

Question

如题所述

Answer 1

e^z - xyz = 0
e^z(∂z/∂x) = yz + xy(∂z/∂x)

令z' = ∂z/∂x = yz/(e^z - xy) = yz/(xyz - xy) = z/(xz-x) = [z/(z-1)](1/x)
∂²z/∂x² 
= dz'/dx 
= (1/x)[z'(z-1)-zz']/(z-1)² - (1/x²)[z/(z-1)]
= -z'/[x(z-1)²] - z/[(z-1)x²]

将z'代入就有
∂²z/∂x² = -z/[x²(z-1)³] - z/[(z-1)x²] = -(z/x²)[1/(z-1)³ + 1/(z-1)]

扩展资料

偏导数的求法

函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。

参考资料来源：百度百科——偏导数

Answer 2

第一步：等式对x求偏导

第二步：原等式对y求偏导

第三步：等式①对y求偏导得

联立①②③解得：

Answer 3

　　这个涉及到复合函数的求导和偏导数求导的有关内容，具体步骤如下图片：

Answer 4

　　∂²z/∂x∂y=-z/[xy(z-1)^3]

　　记F(x,y,z)=e^z-xyz；则有F分别对x、y、z的偏导数依次是：F`x=-yz；F`y=-xz；F`z=e^z-xy。
　　所以∂z/∂x=-F`x/F`z=yz/(e^z-xy)=yz/(xyz-xy)=z/(xz-x)；∂z/∂y=-F`y/F`z=xz/(e^z-xy)=xz/(xyz-xy)=z/(yz-y）

　　二阶混合偏导数可由一阶对x的偏导数对y求偏导，即：∂²z/∂x∂y=[(∂z/∂y)·(xz-x)-z(x∂z/∂y)]/(xz-x)^2
　　将∂z/∂y=-Fy/Fz=z/(yz-y）带入上式即可得到：
　　∂²z/∂x∂y=-z/[xy(z-1)^3]
　　本题是隐函数的混合偏导数的求解。设方程F(x,y,z)=0确定隐函数z(x,y)，若F`z≠0，则：∂z/∂x=-F`x/F`z=；∂z/∂y=-F`y/F`z。

Answer 5

知识点如下，