系数矩阵A的最大无关组和齐次线性方程组解的基础解系关系

Question

系数矩阵A的最大无关组和齐次线性方程组解的基础解系关系按照书上讲的，系数矩阵A的列向量组的最大无关组应该是化为行阶梯后非零行的非零首元所在的列，可以表示其余列。基础解系可以表示方程组Ax=0的所有解，个数是n-r个。定义有讲解集的最大无关组就是线性方程组的基础解系，这里说的解集的最大无关组是不是系数矩阵A的最大无关组。

Answer 1

不要把这两者混淆，矩阵的最大无关组的个数就是矩阵的秩（三秩相等），求法就是阶梯化之后，非零行，非零首元所在的列，化成最简之后就很明显看出来，第几列是哪几列相加减形成的（这之前和解都没关系）。。。。矩阵形成的方程组肯定有解吧，那么有可能只有零解，也有可能有非零解，无数的解，那么每个解都是一个向量，这些解能否用一个东西表达呢，其实就是这么多解的最大线性无关组，也就是解的基础解析，也可以认为这些解已经构成了一个新的矩阵，基础解析是在求这个新矩阵的最大线性无关组。。。所以说这两者本质上好像是没什么关系。不过确实有一个数量关系，但那也是因为三秩相等！基础解析的秩（其实就是有几个自由变量）=n（齐次方程组的元，就是几个未知量）减去 r（矩阵的秩，三秩相等，所以就是矩阵的列秩，也就是矩阵最大线性无关组的数量）

Answer 2

是的！
只要通过初等行变换确定系数矩阵的线性无关组，
就可确定其基础解的个数，以及基础解的形式！追问

这个题最大无关组是第一二列吧

但是基础解系为什么是三个，也和第一二列没什么关系

追答

基础解系的个数为n-r=5-2
因为有5个变量，而只有两个方程。所以必定有三个自由变量。就构成了那三个解。图中令x3,x4,x5为自由变量。

追问

嗯，这个我知道，那这个题的最大无关组是什么，第一二列吗？（1，0）T和（0，1）T？和自由变量有什么关系吗？

不好意思，打错了，是和基础解系有什么关系吗？

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