隐函数求导没听明白,给讲一下下呗

Question

如题所述

Answer 1

由方程所确定的是的函数称为隐函数.从方程中有时可解出是的显函数 ,如从方程可解出显函数;有时,从方程中可以解出不止一个显函数,如从方程中可以解出.
它包含两个显函数,其中代表上半圆周,代表下半圆周.但也有时隐函数并不能表示为显函数的形式,如方程就不能解出来的形式.
现在讨论当是由方程所确定的的函数,并且对可导(即存在),那么在不解出的情况下,如何求导数呢?其办法是在方程中,把看成的函数,于是方程可看成关于的恒等式:.在等式两端同时对求导(左端要用到复合函数的求导法则),然后解出 即可.
例2.14 求方程所确定的隐函数的导数.
解 当我们对方程的两端同时对求导时,则应有(是中间变量) . 解出 .
思考题 证明:圆在其上一点处的切线方程为.问:法线方程是什么?
例2.15 求曲线在点处的切线方程.
解 将曲线方程两边对求导,得 ,即 .
于是 . 过点处的切线斜率
==.
故所求切线方程为 , 即.例2.16 已知 求.
解 方程两边对求导,得
,即 .
例2.17 证明双曲线上任意一点的切线与两坐标轴形成的三角形的面积等于常数.
证 在双曲线上任取一点,过此点的切线斜率为 故切线方程为
.此切线在轴与轴上的截距分别为,, 故此三角形面积为 .
例2.18 设 ,求 .
解 两边对求导,有
当时,由 可解出, 即 而当 时,由可解出 . .
(十一)取对数求导法(是要点)
先看几个例题.
例2.19 设. 此为指数函数.两边取对数得 ,即 ,这是隐函数形式,按隐函数求导法:将此式两边对求导,得,即.,.即指数函数的导数为 ……(1)
特别当时,则有 ……(2)
由复合函数求导法,利用公式(1)容易求出的导数:
.
而.若求由方程所确定的隐函数的导数,只须两边对求导,得 所以
(注:另一种解法 从中容易解出 此为的反函数.而
由此易知
. 即).
例2.20 求幂函数(为任意实数)的导数.
解当,已有. 现在在两边取对数,则有, 即.两边对求导数(做中间变量),有,.即.例2.19,例2.20说明:对指数函数,幂函数求导数,幂指函数求导数,都可以利用"取对数求导法".但注意,要尽量利用已有公式,如求不必再去令,然后两边取对数.而可直接求
例2.21 求幂指函数的导数.
解法一 利用两边取对数方法: 即 .再利用复合函数求导法则 (这里中间变量是):
解法二 由,可变形.
解法一是对幂指函数两边取对数;解法二是利用(当).两种技法都要掌握.
例2.22 求幂指函数的导数.
解 两边取对数两边对求导,有,解出
例2.20,例2.21,例2.22告诉我们,对于指数函数,幂函数,幂指函数都可采用先取对数,再求导,最后解出的方法——即"取对数求导法".不仅如此,"取对数求导法"也常用来求那些含乘,除,乘方,开方因子较多的函数的求导.这是因为对数能变,为+,—,把乘方变乘法.
例2.23 求.
解法一 =
=
=
==.
解法二 令,两边取对数
,两边对求导数,
. 所以
与解法一的方法不同,但结果一样.细心的同学可能会对解法二提出质疑:
在表达式中,并未说明有,那么,怎么可以对它们取对数呢?严格说来,应该分情况:
当或时,由导数定义可以知道的导数在处不存在.当且时,,此时可先在表达式
两边取绝对值,得.因为,所以可在上式两边取对数:
……(*)
再对两边对求导数(但我们记得,与是相同的,即对(*)关于求导的结果应该与不带绝对值的式子 两边对求导的结果完全一样.因此,今后做题取对数时,可不用取绝对值,而直接取对数就可以了.
参数方程求导法:
(十二)由参数方程所表示的函数的求导公式.平面曲线一般可用方程或表示.但有时动点坐标之间的关系不是这样直接给出,而是通过另一个变量t间接给出的,例如,圆心在原点(0,0),半径为R的圆周可用方程组