怎样证明直线上任意三点距离之和最小？

Question

如题所述

Answer 1

要证明直线上任意三点距离之和最小，可以使用数学的方法来推导。
假设这三个点在直线上的坐标分别为 (x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)。

首先，我们可以计算点1和点2之间的距离 d1：

d1 = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

同样地，我们可以计算点2和点3之间的距离 d2：

d2 = sqrt((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2)

接下来，我们可以计算点1和点3之间的距离 d3：

d3 = sqrt((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2)

现在我们的目标是证明 d1 + d2 + d3 的值最小。我们可以使用三角不等式来进行推导：

根据三角不等式，任意两边之和大于第三边，也就是 d1 + d2 > d3、d1 + d3 > d2、d2 + d3 > d1。

将这三个不等式组合起来，我们可以得到：

d1 + d2 + d1 + d3 + d2 + d3 > d3 + d2 + d1

化简后得到：

2(d1 + d2 + d3) > 2(d3 + d2 + d1)

消去相同项后得到：

d1 + d2 + d3 > d3 + d2 + d1

这意味着 d1 + d2 + d3 的值大于任意两点之间的距离之和。

由此可见，直线上任意三点距离之和最小是等于任意两点之间的距离之和。这一结论也可以通过直观的几何解释得到。

因此，我们可以得出结论：直线上任意三点距离之和最小等于任意两点之间的距离之和。

Answer 2

在AC、BD的交点E ，如图

证明如下

任取异于E点的一点F，连结FA、FB、FC、FD，

在△FDB中，FD+FB>BD（三角形两边之和大于第三边），

在△FAC中，FA+FC>AC（三角形两边之和大于第三边），

故FD+FB+FC+FA>AC+BD=EA+EC+EB+ED，即EA EB EC ED最小。

用解析法中的解析几何可证明直线上一个点到四个点的距离之和最短，即为距离和最短。

扩展资料：

解析几何的学科应用

解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。

在平面解析几何中，除了研究直线的有关性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。

在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面。

如椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用。比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。

总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。

参考资料：百度百科-解析几何