平面中任意三点到已知直线的距离之和最短怎么做？

Question

平面中任意三点到已知直线的距离之和最短怎么做？如果有n个点呢？不管做不做的出都要给出详细证明过程···
不好意思，经前几日提高悬赏金后我发现问的问题有误
（由于本人上网时间有限）所以在此订正：
我想问的是，（作图）平面内任意找三个定点和一条直线，在直线上找一点使的这三个点到这个直线上的点的距离之和最短。【能否做出来？如果有n个定点呢？能的话怎么做，要给出能证明那一点是最短的，要详细的，如果证明要很多字就把它发到我的邮箱中（[email protected]）】
如果不懂我在问什么；我再举个简单的例子：
就像初中的那道题：就比如有一条河，在河的一侧有两个工厂，现在要建个水电站；要使这个水电站到这两个工厂的距离之和最短，问这个水电站要建在河的那个地方？这个很简单问题是如果有三个工厂或n个工厂要怎么做？？？（唉，我还想问如果直线变成曲的有要怎么办？？?）真是不好意思要让你们重想了。在此请大家原谅。（谢谢各位网友的帮助）

Answer 1

任意三点到已知直线的距离之和最短，那么如果每个点到直线都只有一个最短的距离，那么这些最短距离之和肯定也是最短的，以此类推n个点也一样。所以我们只要证明一个点到直线最短的距离就行了

如上图所示，由平面任意一点a向直线l作垂线，垂足为o，再由a点向l作任意一条斜线AB.

三角形AOB为直角三角形，在直角三角形中斜边大于直角边，所以AB>AO，由此可知，一点到直线的距离垂线段最短

 

很高兴为您解答，祝你学习进步！

有不明白的可以追问！！！！！！

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Answer 2

根据我的猜测，楼主的意思应该是：平面上给定3（或更多）个点A1A2A3，和一条直线L，如何找到直线L上的某个点P，使得PA1+PA2+PA3最短。

如果是2个点的话，大家都知道怎么做，如果A1A2在直线L同侧，给A2做个反射点A2'，然后连条直线A1A2'，和L的交点就是那个P。如果是3个点，题目就有点复杂了，最好楼主有些高等数学知识。

不妨设直线L就是y=0，然后n个点是A1(x1,y1)，。。。，An(xn,yn)，然后P点是(x,0)，则楼主是要最小化sigma sqrt((x-xi)*(x-xi)+yi*yi)，其中sqrt代表平方根（计算机语言里多用sqrt命令表示平方根）

如果楼主会求导，后面就能看懂，否则老夫就只能残念了。。。

对上式“悍然”求导，得sigma (x-xi)/sqrt((x-xi)*(x-xi)+yi*yi) = 0。

上个式子的数学意义是，AiP对直线L切成角度的cos值（余弦函数）之和为0。

我们来看一下n=2的情况，两个cos值之和为0，就代表两个cos值是相反数，则代表角度之和是180。画一下就知道，正好就是做反射线的情况。所以，有了高等数学知识就会发现，画一条反射线对n=2是很自然的做法。

n>=3之后，情况就复杂得多了（至少是没有n=2利用相反数这么容易了），简单说，就是没办法很轻松地求出解析解了。n很大后，逐一解开那些平方根后的关于x的一元方程，次数会是很高的，伽罗华已经用群论证明了：对于5次以上的一元方程，没有解析解存在。所以当n变大后，像n=2的情况能这么漂亮地解决问题，几乎是不可能完成的任务。

但是角度的cos值（余弦函数）之和为0，确实是那个P点需要满足最小值的“充要条件”（因为cos值的式子对于x是单增的，该方程有且只会有一个零点）。有了这个和为0的方程，用计算机去快速求得n>=3情况下的精确数值解是很容易的（在工程学和应用科学里，如果可以设计计算机程序快速求出精确数值解，这个问题其实就已经算是被完美解决了，即便数学意义上的解析解很难求得）。本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

任意一点到直线的最短距离就是这一点到直线的垂直距离，
任意三点到已知直线的距离之和最短就是这三点到直线的垂直距离之和，
任意n点到已知直线的距离之和最短就是这n点到直线的垂直距离之和
因为每一个距离都是最小值，那么，它们的和也是最小值。

Answer 4

画一条垂线或连续垂线就OK了啦

Answer 5

三点到已知直线距离之和最短，或者n点到已知直线距离之和最短，其实就是证明点到直线垂线段最短；
证明过程也很简单啊
这个在平面几何是公里不需要证明的