如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．

Question

如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB=8，求CD的长．图http://img.jyeoo.net/quiz/images/201201/1/1450582c.png

Answer 1

答案是根号3.首先,AB是直径,CD垂直与AB说明E点为CD的中点,AB垂直且平分CD.又因为CO也是直径,垂直AD于F,则同理,CO也垂直平分AD.连接AC之后可以发现,因为AE垂直平分CD,所以边AC=AD,同理因为CF垂直平分AD,所以AC=CD,即三角形ACD为等边三角形...然后再由角各为60度,可得出OE等于1/2,则等边三角形三边为根号3

Answer 2

（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴
AC
=
AD
，
∴AC=AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF=DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC=CD，
∴AC=AD=CD．
即：△ACD是等边三角形，
∴∠FCD=30°，
在Rt△COE中，OE=1
2
OC，
∴OE=1
2
OB，
∴点E为OB的中点；

（2）解：在Rt△OCE中，AB=8，
∴OC=1
2
AB=4，
又∵BE=OE，
∴OE=2，
∴CE=√ OC2-OE2
=√ 16-4
=2√ 3
，
∴CD=2CE=4√ 3