对已知线段AB的视角等于135度的角的顶点(就是使角APB=135度的点p)的轨迹？

Question

如题所述

Answer 1

已知线段AB的视角等于135度的角的顶点P的轨迹是圆心在AB垂直平分线上，半径为AB/√2的圆上的一段圆弧AB（不包括端点A、B）。 

 思路方法：这个结论可以用辅助圆模型来证明。

知识点（性质）：依据在圆上，等角对等弧，等弧对等角，知轨迹是一段圆弧。

 证明：

证明比较简单，利用一个辅助圆易证明半径R =AB/√2.

当P点在y轴上时，∠PCB =45°,即B点是第一象限直角的角分线，则R=BC   

=√2*AB/2,

得：R= AB/√2. ∴P的轨迹是圆心在AB垂直平分线上，离A、(或B)距离为AB/√2的圆上的一段圆弧AB。（不包括端点A、B）                                                 

通过这个小题，学习数学知识一定要举一反三，对有关结论实施正反推，培养数学思维。

Answer 2

要确定线段AB的视角等于135度的角的顶点的轨迹，需要明确以下几个概念：
1. 视角：视角是指从一个点或一个方向观察物体时所形成的角度。这里，视角指从点P观察线段AB所形成的角度。
2. 顶点：顶点是指角的两条边的交点，也就是表示角的点。这里，顶点是点P。
3. 角度：角度是指两条相交线段之间的夹角。这里，角度是135度。
根据以上概念，可以得出以下结论：
1. 点P在线段AB所在的直线上。
2. 点P到线段AB的两个端点A和B的距离相等，即PA=PB。
因此，点P的轨迹是线段AB的中垂线。中垂线是垂直于线段的线，且将线段平分为两段。因此，P沿线段AB的中垂线上下移动时，PA和PB的长度保持不变，从而使得角度APB始终等于135度。

Answer 3

要找到点P的轨迹，使得角APB等于135度，我们需要应用一些基本的几何知识。假设线段AB的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，点P的坐标为(x, y)。
为了找到点P的轨迹，我们可以通过夹角公式来找出线段AP和线段BP之间的关系。夹角公式为：
cos(θ) = (AP^2 + BP^2 - AB^2) / (2 * AP * BP)
其中θ为角APB，AP为点A和点P之间的距离，BP为点B和点P之间的距离，AB为线段AB的长度。
我们已知角APB为135度，所以我们可以将公式中的θ替换为135度。计算cos(135度)的值，得到：
cos(135) = -1 / √2 ≈ -0.7071
将已知值代入夹角公式，得到：
-0.7071 = (AP^2 + BP^2 - AB^2) / (2 * AP * BP)
我们已经有了一个关于AP和BP的方程，但是这个方程有两个未知数。为了解决这个问题，我们可以利用点P(x, y)到点A(x1, y1)和点B(x2, y2)之间的距离公式，得到：
AP^2 = (x - x1)^2 + (y - y1)^2
BP^2 = (x - x2)^2 + (y - y2)^2
现在我们有一个关于x和y的方程。我们可以通过求解这个方程来找到点P的轨迹。注意，这个方程是非线性的，求解起来可能比较复杂。但是，一旦求解出这个方程，我们就可以得到点P的轨迹。这个轨迹将是一个几何形状，可能是一个圆、椭圆、抛物线或双曲线等。

Answer 4

假设已知的线段为AB，点P为任意一个顶点使角APB等于135度的点，则点P的轨迹如下：
1.将线段AB作为一条直线，以A为起点，向左绘制一条与AB相垂直的线段AC；
2.在直线AB的延长线上取一点D，使得角ACD等于45度，绘制线段CD；
3.以B为起点，在直线AB的延长线上绘制一条线段BE，使得角DBE等于45度；
4.将线段CD和线段BE延长，它们的交点即为点P。
因此，点P的轨迹是一条抛物线，其焦点位于线段AB中点上方且到该中点的距离等于AB长度的一半，抛物线开口朝上。

Answer 5

我们可以使用画图工具在平面直角坐标系中绘制一条线段AB，并固定A点的位置（例如，A点固定在坐标原点上方的某个位置，例如（0，1）），然后令B点的位置在坐标系中沿着一个固定的方向运动。然后，我们可以寻找通过点A和任意B点的角为135度的顶点P的轨迹。该轨迹是一个半射线，其起点是A点，方向是沿着B点逆时针旋转135度角所得到的角度方向。因此，可以将轨迹表示为所有满足以下条件的点P的集合：P(x,y)，y>1且angle APB = 135度，其中A点的坐标是(0,1)。