平面解析几何与普通几何有统一性吗 如何证明？

Question

解析几何的原理是什么？我正在学高二圆锥曲线 为什么建的坐标系不同曲线方程不同但得到的几何结果却相同，，它与普通几何是如何通过点的坐标建立联系的？ 它与普通几何是否具有统一性？ 为什么用它可以解决几何问题，用它表示几何语言后却能得到原有的几何结论？？？
怎样证明它与普通几何的统一性？ 我想了想坐标系貌似是一中工具 ， 普通几何是直接得到关系的 而解析几何的思想是 让各个几何元素分别与另外一个几何元素建立关系.然后再根据他门与另外一个集合元素的关系来推出他们之间的关系 但我发现这样以来他门与另一个几何元素建立的关系是独立的 ，根本推不出二者之间的关系，若用坐标系这种工具则原点是另外的元素让几何元素分别与他建立关系就能把各个关系建立联系 ， 貌似坐标系与物理中的 参考系有点类似 这样坐标，，，， 以上是我的见解 问这是否是坐标系的建立思想 ？？ 若有不对请大家补充！1

Answer 1

简单地讲，解析几何其实就是在一个代数系统中建立了一个模型，而几何公理可以在这个模型里面得到证明，所以按照你的讲法就是用解析几何可以解决“普通几何”的问题。

总体来讲 十年梦幻 的讲法比较靠谱，但是个别观点还是有点问题。事实上并不是几何学不严格，而是几何中的公理比代数中的公理看上去要复杂一些，人们希望用逻辑上更简单的公理来建立已知的数学体系，所以在代数系统中建立几何模型比较容易被接受。而这一做法带来的结论是，如果实数的公理是相容的，那么欧氏几何的公理也是相容的，换句话说欧式几何的公理至少和实数的公理一样有道理，即使实数的公理有问题，欧式几何的公理仍然有可能成立。目前各种公理的相容性基本上都已经归结到集合论的公理的相容性的问题了，但是并不是说那些复杂的公理就是不严格的。

另外楼上有几位提到的“客观存在”也是有点问题的。虽然这种讲法可以帮助中学生理解解析几何，但是事实上数学上的存在性是在一定逻辑基础上得到的，可以说和客观世界没有任何关系。

Answer 2

以下都是我自己打的,可不是抄的,希望楼主认真看!
其实问题很简单,只要你明白什么是数学!

数学是用来研究客观现象的一种抽象方法.

现在就你的问题而言,你所说的"普通几何"是平面几何,"解析几何"是平面解析几何,他们所研究的都是平面几何问题,那么什么是平面几何问题?就是在平面中,点与点的关系,点于直线的关系,直线与直线的关系,好比 点在直线上(点于直线的关系)
,直线相交(直线与直线的关系),相交交点,相交成角等等等~~~

"普通几何" 是建立在五大公理上的,你学几何的时候最一开始就会讲,是用这些公理推导出的定理及推论来研究平面几何问题的.
"平面解析几何"是建立在直角坐标系(其实还有别的坐标系,这样说不准确但你能懂)上的,点的坐标代替了点,直线的方程代替了直线,这样三大关系有了新的诠释,好比点在直线上,点坐标符合直线方程(点和直线的关系) 斜率互为负倒数就垂直,等等等~~~

所以他们是统一的,统一在他们研究的内容是一致的,而研究的手段是不同的.研究结果是一样的.所以才会有用解析法和几何得到一样的结果.

当然他们也不分家,你做题时,有的时候两种几何理论一起用能达到很好的效果~

Answer 3

几何性质就是跟坐标无关的那些性质。
之所以坐标不同几何结果相同，是因为你使用的坐标变换是等距变换，就是说，不改变长度。
而因为几何性质与坐标无关，所以我们总可以选取最方便的坐标来做计算，比如标准方程。

Answer 4

对于这个问题有这两种途径：
1. 用坐标变换的角度来看。对于解析几何，坐标系不同其曲线方程不同，但具体是怎么不同呢？在学过线性代数中的坐标变换后就可以用矩阵的语言一下子写出来，并且可以证明出坐标系不同不影响其各类几何性质的结论。
2. 用解析几何的几何背景来看。解析几何中，比如圆锥曲线，都有很具体的几何背景（如对于一个圆柱用平面从不同的角度来切就得到不同的曲线），并且也都有结合定义（如到准线距离与到焦点距离之比），这些都是他们之间统一性的来源。
普通几何是客观存在，解析几何依赖于坐标系选择，但并没有改变“客观存在”的几何关系。正如一线段AB及其中电C，用不同单位的刻度尺量就有不同的数值（如一个是迷离单位，一个是毫米单位，这就相当于不同的坐标系），这样得出的具体数值不同，但对于线段AC来说，却是不管用什么尺子，都是AB长度的一半。因为这就是“客观存在”，解析几何只是用代数的方法表示解决它。

Answer 5

本质是确定平面中，点的位置，并用代数形式表达！
建立不同的坐标系，只不过使每个点的代数表达改变，但它的本身属性没变。
打个比方就是A,B两人身高差1cm,但无论他们在地面还是高楼上比身高，他们还是差1cm

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