第1个回答 2009-11-26
我来,如下图,按题要求是要证明A、B两点的最短距离是AB线段。下面用反证法证明:
假设最短距离并不是线段AB,而是曲线,由于曲线可以化直,即化为一小段一小段的直线组成,因此可以先证明只有一个折点的情况。如下图,设折点为C,由C作CD⊥AB于D,则AC=AD/COSA,BC=BD/COSB。
由于C不在AB上,故∣COSA∣<1, 则AC>AD,BC>BD,则AC+BC>AD+BD=AB。故假设不成立,原命题得证。、
如果有多个折点(弯曲线是无穷多个折点),比如AC间还有折点E,同样可以用上述一个折点方法证AE+CE>AC.
严格的证明方法 :
反证法,假设最短线不是线段AB,而是一空间或平面折线AC1C2...Ci...CnB(注:圆弧线也可以用极限法化为折线,即所谓的化曲为直思想),于是可由点C1,C2...Ci...Cn分别向AB线段所在的直线作垂线,交AB所在直线于D1,D2...Di...Dn.由三角形斜边大于直角边得AC1>AD1,C1C2>D1D2...CnB>DnB.各不等式左右分别相加得折线AC1C2...Ci...Cn>AB,证毕.
第2个回答 2009-11-19
你说的没错,这个绝对是可以用其他知识推导出来。
不过这个证明过程就犹如证明1+1=2一样困难,不是说只用微积分,只用什么定理就可以证明的,是要用很多定理公式,还都不能是从“两点之间直线最短”为前提推导出来的公式定理和推导方式。
如果真是有志于此,那么恭喜你,你现在就开始研究,或许二十年后你就能解决这个问题了,而不是在这里用180分就可以悬赏的来的,可能到时候你的草稿纸也会堆满一屋子,你也会得诺贝尔奖,就像人类工业革命发明蒸汽机一样,你在数学界也会受到万人敬仰,成为数学界的超级大师。
或许今天你可以引到一些玉,但我相信能在百度知道里闲逛的人一定不是那种数学狂人,而这样的问题通常只有数学狂人方能解决,所以如果真是感兴趣那就潜心修炼吧。
第3个回答 2009-11-16
一定要证明的话,那就用定积分[线积分]来证明吧[以盾击矛]。
将曲线方程写成参数方程形式x=f(t),y=g(t)。
利用线元dr={[f'(t)]²+[g'(t)]²}dt求区间[a,b]上的定积分即可得出曲线AB长度。
特别地,当且仅当曲线为直线时,这个积分值最小。亦即,两点之间直线最短。
第4个回答 2009-11-15
首先,几何中研究的曲线都是分段光滑的,像处处连续处处不可导的函数不在考虑范围内。
如果路径是光滑的,设方程为x=f(t),y=g(t),a<=t<=b,则长度等于f(t)导数和g(t)导数平方和的平方根从a到b的积分,用变分法可以证明积分值最小当且仅当路径为直线;
如果路径不光滑但分段光滑,可以对每一段进行上面的步骤。本回答被提问者采纳