第1个回答 2009-11-26
我来，如下图，按题要求是要证明A、B两点的最短距离是AB线段。下面用反证法证明：
假设最短距离并不是线段AB，而是曲线，由于曲线可以化直，即化为一小段一小段的直线组成，因此可以先证明只有一个折点的情况。如下图，设折点为C，由C作CD⊥AB于D，则AC=AD/COSA，BC=BD/COSB。
由于C不在AB上，故∣COSA∣<1， 则AC>AD，BC>BD，则AC+BC>AD+BD=AB。故假设不成立，原命题得证。、
如果有多个折点（弯曲线是无穷多个折点），比如AC间还有折点E，同样可以用上述一个折点方法证AE+CE>AC.
严格的证明方法 :
反证法，假设最短线不是线段AB，而是一空间或平面折线AC1C2...Ci...CnB（注：圆弧线也可以用极限法化为折线，即所谓的化曲为直思想），于是可由点C1，C2...Ci...Cn分别向AB线段所在的直线作垂线，交AB所在直线于D1，D2...Di...Dn.由三角形斜边大于直角边得AC1>AD1,C1C2>D1D2...CnB>DnB.各不等式左右分别相加得折线AC1C2...Ci...Cn>AB，证毕.
第2个回答 2009-11-19
你说的没错，这个绝对是可以用其他知识推导出来。
不过这个证明过程就犹如证明1+1=2一样困难，不是说只用微积分，只用什么定理就可以证明的，是要用很多定理公式，还都不能是从“两点之间直线最短”为前提推导出来的公式定理和推导方式。
如果真是有志于此，那么恭喜你，你现在就开始研究，或许二十年后你就能解决这个问题了，而不是在这里用180分就可以悬赏的来的，可能到时候你的草稿纸也会堆满一屋子，你也会得诺贝尔奖，就像人类工业革命发明蒸汽机一样，你在数学界也会受到万人敬仰，成为数学界的超级大师。
或许今天你可以引到一些玉，但我相信能在百度知道里闲逛的人一定不是那种数学狂人，而这样的问题通常只有数学狂人方能解决，所以如果真是感兴趣那就潜心修炼吧。
第3个回答 2009-11-16
一定要证明的话，那就用定积分[线积分]来证明吧[以盾击矛]。
将曲线方程写成参数方程形式x=f(t)，y=g(t)。
利用线元dr={[f'(t)]²+[g'(t)]²}dt求区间[a,b]上的定积分即可得出曲线AB长度。
特别地，当且仅当曲线为直线时，这个积分值最小。亦即，两点之间直线最短。
第4个回答 2009-11-15
首先，几何中研究的曲线都是分段光滑的，像处处连续处处不可导的函数不在考虑范围内。
如果路径是光滑的，设方程为x=f(t),y=g(t),a<=t<=b，则长度等于f(t)导数和g(t)导数平方和的平方根从a到b的积分，用变分法可以证明积分值最小当且仅当路径为直线；
如果路径不光滑但分段光滑，可以对每一段进行上面的步骤。本回答被提问者采纳