线性代数相关问题

Question

设A，B，C为n阶方阵，且ABC=E，则必有____

A.ACB=E B.BCA=E C.CAB=E D.BAC=E

求求解过程。

谢谢！

Answer 1

因为 ABC = E
等号左右两边同取行列式 |ABC| = 1
即 |A||B||C| = 1 (矩阵的性质)
所以三个行列式都不为零，所以说明三个方阵都可逆 （行列式不为零，则方阵可逆）
由 ABC = E
等号两边左乘 A的逆矩阵
得到 BC = A逆
再等号两边右乘 A
得到 BCA = E
原题是ABC = E ,只能在最左和最右即 A 和 C 上乘以它们的逆矩阵，B是没办法变换的。
所以同理，先两边右乘 C逆 ，在两边左乘C,得 CAB = E
所以选B、C两项

Answer 2

B
这个证明不严谨。。。
ABC=E
BC=A^-1
(BC)^-1=A
C^-1B^-1=A
B^-1=CA
E=BCA
这个证明要求ABC全部可逆。。。不知道可不可以用

Answer 3

答案是C

Answer 4

B和C都对。一般矩阵未必有MN=NM；但若MN=E则必有NM=E（都等价于M=N^(-1)或N=M^(-1））。对B，A(BC)=E故(BC)A=E；对C，(AB)C=E故C(AB)=E。A和D不对，因为BC未必等于CB，AB也未必等于BA