解释一下三重积分的数学意义

Question

一重积分的几何意义是求曲边梯形的面积，二重积分求的是空间几何体的体积，三重积分呢？它的数学上的几何意义是什么，别告诉我表示物理上的密度，我想问的是它所在的坐标轴是什么样的，4维吗?还有 ∫∫dxdy为什么就是代表了区域D的面积Σ？按公式来讲应该是这个f（x，y）二元函数的值永远为1，但是怎么就表示了面积呢？？？求解

Answer 1

你说的不完全对，二重积分的几何意义并不是空间几何体的体积。在XOY平面外有一曲面z=f(x,y)，该曲面在XOY平面的投影为D，那么该曲面与XOY平面为上下底的柱体体积为∫∫f(x,y)dxdy所以一重积分是求曲线下与x轴所成图形的面积，二重积分是曲面下与XOY平面所成几何体的体积 那么三重积分呢，则是有两曲面f(x,y,z)和g(x,y,z），求两曲面之间所成几何体的体积，其中z的上下限分别为f(x,y),g(x,y)接着解释你第二个问题：你回想怎么求曲边梯形面积呢？将梯形的高dx累加，dx为无限小时求极限，就是一重积分。二重积分一样，曲面柱体体积怎么求呢?体积=底面积*高。底面积就是dS，高就是z函数值，而dS等于x轴微元乘以y轴微元，就是把x和y的dxdy都趋于无限小，dS=dxdy，因为就是小微元矩形的面积。累加求极限就是二重积分

Answer 2

一重积分的几何意义是求曲边梯形的面积，二重积分求的是空间几何体的体积，，三重积分不好比喻，因为咱们所能看到的都是三维空间，所以也只有解释成三维空间内一个几何体的重量了，而且这个几何体的每个点的密度是变化的。你所说的∫∫dxdy表了区域D的面积Σ。我想你说说的区域D应该是积分区域，也就是正因为f（x，y）恒等于1，所以这个积分才表示积分区域D的面积。