可积一定存在原函数吗?

Question

如题所述

Answer 1

可积但原函数不一定存在，原函数存在不一定可积，二者没有必然关系。

可积的充分条件函数连续或函数在区间上有界且有有限个间断点。或函数在区间单调。原函数存在的充分条件、连续。另外函数含有第一类间断点，那么不存在原函数，含无穷型的间断点也不存在原函数。

可积的函数特点

我们说一个实变或者复变量的实值或者复值函数是在区间上平方可积的，如果其绝对值的平方在该区间上的积分是有限的。所有在勒贝格积分意义下平方可积的可测函数构成一个希尔伯特空间，也就是所谓的L2空间，几乎处处相等的函数归为同一等价类。

形式上，L2是平方可积函数的空间和几乎处处为0的函数空间的商空间。对于实数 p ≥ 0，函数f是p-可积的如果|f|p是可积的。

对于p = 1，也称绝对可积。（注意f(x)是可积的当且仅当|f(x)|是可积的，所以"可积"和"绝对可积"在勒贝格意义下等价。术语p-可和也是一样的意义，常用于f是一个序列，而μ是离散测度的情况下。