三阶行列式的值为零的条件是什么？

Question

如题所述

Answer 1

要a是一个三阶行列式才是。a^(-1)=a^*/|a|,|a^*|=||a|*a^(-1)|，a的行列式是一个数提出去就可以了，然后a的逆的行列式等于其行列式的倒数。

A^2=0

两边同时取行列式

(detA)^2=0

=>detA=0

相关定理：

定理1：设A为一n×n矩阵，则det(AT)=det(A)。

证 对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对(k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开。

定理2：设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。

根据定理1，只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。

定理3：令A为n×n矩阵。

（1）若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0。

（2）若A有两行或两列相等，则det(A)=0。

这些结论容易利用余子式展开加以证明。