高斯消元法解线性方程组

Question

如题所述

Answer 1

高斯消元法解线性方程组如下：

高斯消元法，是线性代数中求解线性方程组的一种算法。它通常被理解为在相应的系数矩阵上执行的一系列操作。要对矩阵执行行缩减，可以使用一系列基本行操作修改矩阵，直到矩阵的左下角尽可能地用零填充。

基本行操作有三种类型: 

交换两行

将一行乘以一个非零数字

将一行的倍数添加到另一行

运用以上方法作，一个矩阵总是可以被转换成一个上三角矩阵，实际上是一个行阶梯形。一旦所有的主系数(每一行中最左边的非零项)都为1，并且包含主系数的每一列在其他地方都为零，这个矩阵就称为行简化阶梯形。最终的形式是独特的;换句话说，它与所使用的行操作序列无关。

例如，在接下来的行运算序列中(每一步可能进行多个初等运算)，第三和第四个矩阵是行简化阶梯形矩阵，最终的矩阵是唯一的行简化阶梯形矩阵。

举例：

假设目标是找到并描述下列线性方程组的解集:

下表是同时应用于方程组及其增广矩阵的行约简过程。在实践中，人们通常不使用方程来处理系统，而是使用增广矩阵，它更适合于计算机操作。行约简过程可以总结为:从L1以下的所有方程中消去x，再从L2以下的所有方程中消去y。这将使方程组变成三角形。然后，用反代换法求解每个未知数。

一旦y也从第三行中删除，结果是三角形形式的线性方程组，因此算法的第一部分完成。从计算的角度来看，以相反的顺序求解变量更快，这一过程被称为反向替换。人们看到的解决办法是z=1,y=3，和x=2。所以原始方程组有唯一的解。

第二列描述了刚刚执行了哪些行操作。所以第一步x从...中消除L2通过添加3/2L一到L2。接下来，x从...中消除L3通过添加L一到L3。