如何理解用gauss消元法解线性方程组的正确性

Question

如题所述

Answer 1

使用Gauss消元法解线性方程组时，我们将系数矩阵转化为上三角矩阵，然后通过回代法求解方程。该方法的正确性可以从两个方面理解。首先，通过消元操作，我们不改变方程组的解集。消元操作只是通过基本行变换将系数矩阵转化为上三角矩阵，而这些基本行变换是可逆的。因此，我们可以通过回代法得到与原方程组等价的方程组，从而求得相同的解。其次，高斯消元法的正确性可以通过数学归纳法证明。假设对于n个未知数的方程组成立，即n个未知数的方程组有唯一解。那么对于n+1个未知数的方程组，我们可以使用Gauss消元法将其化简为n个未知数的方程组。根据归纳假设，这个n个未知数的方程组有唯一解。因此，n+1个未知数的方程组也有唯一解。