函数的概念及性质

Question

如题所述

Answer 1

1.函数的定义
(1)函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量.
(2)函数的近代定义：设A，B都是非空的数的集合，f:x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f:A→B就叫做函数，记作y＝f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域.
上述两个定义实质上是一致的，只不过传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发，侧重点不同.函数实质上是从集合A到集合B的一个特殊的映射，其特殊性在于集合A、B都是非空数集.自变量的取值集合叫做函数的定义域，函数值的集合C叫做函数的值域.
这里应该注意的是，值域C并不一定等于集合B，而只能说C是B的一个子集.
2.函数的三要素
定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素.由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，所以也可以说函数有两要素：定义域和对应法则.两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数.函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值x的输出值的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数，函数是一种特殊映射。

Answer 2

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。
　　周期函数性质：
　　（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。
　　（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。
　　（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。
　　（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
　　（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）
　　（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。
　　（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。 1、周期函数的定义及性质
定义：设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质；
（1）对 有（X±T） ；
（2）对 有f（X+T）=f（X）
则称f（X）是数集M上的周期函数，常数T称为f（X）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（X）的最小正周期。
由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。
例1 常数值函数f（X）=C（C是常数）是实数集R上以任意非零实数为周期的周期函数。
狄利克莱函数D（X）= 是实数集上任意非零有理数为周期的周期函数。
由于正实数和正有理数都没有最小的，因而它们都没有最小正周期。
2、性质：
（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。
（因f[x+(T-T)]=f[X+(-T)]= f(X)）。
因而周期函数必定有正周期。
（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。
证：当n＞0时，f(x+nT)=f[x+(n-1)T+T]=f[x+(n-1)T]=……
=f（x+T）= f(X)。
当n＜0时，∵-n＞0，由前证和性质1可得：
nT=-（-nT）是f(X)的周期。∴当n为任意非零整数时命题成立。
（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。（因f[x+（T1±T2）]=f（x+T1）= f(X)）。
（4）、如果f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。否则必存在n1r Z+（Z+为正整数）使T=n1T*+r（0＜r＜T*），则对 （f(X)的定义域）有f(X)=f（x+T）=f＝（x+n1T*+r）=f（x+r），∴r也是f(X)的正周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾。∴T必是T*的正整数倍。
（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）
证：据条件和性质4知，存在K1、K2 Z，使T1=K1T*，T2=K2T*，∴ 。
（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。（用反证法据性质5即可证得）。
（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。
证：若T是f(X)的周期，则nT（n ，n≠0）也是f(X)的周期，∴ 有X±nT M，∴M双方无界，但并非M必定（-∞、+∞），如tgX和ctgX的定义域分别为X≠Kπ+π/2和X≠Kπ（K ）。
例2：f(X)=sinX（ ≤10π）不是周期函数。
3、周期函数的判定
定理1 若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。
证：∵T*是f(X)的周期，∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。
假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（ 0＜T’＜T*）是K f(X)+C的周期，则对 ，有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’)- f(X)=0，∴f(X+T’)= f(X)，∴T’是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。
同理可证1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。
定理2：若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集｛X/aX+ b ｝上的以T*/ 为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。
证：（先证 是f(ax+b)的周期），∵T*是f(X)的周期，∴ ，有X±T*∈M，∴a（X± ）+b=ax+b±T*∈M，且f[a（X+ ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的周期。
再证 是f（ax+b）的最小正周期
假设存在T’（0＜T’＜ ）是f（ax+b）的周期，则f（a（x+T’）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT’）=f（ax+b），因当X取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各数时,ax+b就取遍M所有的各数，∴aT’是f(X)的周期，但 ＜ =T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。
定理3：设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。
证：设T是u=g(x)的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x)) ∴=f(g(x))是M1上的周期函数。
例3 设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。
同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，（4）f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函数。
例4，f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。
例5，f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。本回答被网友采纳