解析如下：
（1）替换 x=tan t, -pi/2<t<pi/2
dx=sec^2 t dt
（2）根号(1+x^2)=根号(1+tan t^2)=sec t积分
=积分 sec^3 t dt
=积分 sec t sec^2 t dt
=积分 sec t d (tan t)
（3）分部积分
=sec t * tan t - 积分 tan t * sec t tan t dt
=sec t * tan t - 积分 (sec^2 t -1) sec t dt
=sec t * tan t - 积分 sec^3 t dt + 积分 sec t dt
（4）左右两边都有 积分 sec^3 t dt,合并到左边
2 积分 sec^3 t dt =sec t tan t +ln|sec t+tant |
（5）积分 sec^3 t dt =1/2*[sec t tan t +ln|sec t+tant |]+C
（6）然后就得代会去，x=tan t, sec t= 根号(1+tan^2 t)=根号(1+x^2)
积分=1/2*[ x*根号(1+x^2)+ln|x + 根号(1+x^2)| ]+C
拓展资料：
1、积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。
2、积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。
3、如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。如同上面介绍的，对于只有一个变量x的实值函数f，f在闭区间[a,b]上的积分记作
4、其中的 
5、如果变量不只一个，比如说在二重积分中，函数 
6、分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
7、它的主要原理是利用两个相乘函数的微分公式，将所要求的积分转化为另外较为简单的函数的积分。根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂三指”。
8、分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分。
参考资料：百度百科：积分