求问不定积分∫√(a²－x²)dx(a＞0)详细解答。谢谢

Question

如题所述

Answer 1

∫√（a^2-x^2）dx

设x=asint

则dx=dasint=acostdt

a²－x²

=a²-a²sint²

=a²cost²

代入原积分，可以得到：

∫√（a²-x²）dx

=∫acost*acostdt

=a²∫cost²dt

=a²∫（cos2t+1）/2dt

=a²/4∫(cos2t+1)d2t

=a²/4*(sin2t+2t)

将x=asint代回，可以得到：

∫√（a^2-x^2）dx=x√(a²-x²)/2+a²*arcsin(x/a)/2+C（C为常数）

扩展资料：

如果不定积分⎰g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[ϕ(x)] ϕ’(x). 做变量代换u=ϕ(x),并注意到ϕ‘（x）dx=dϕ(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是可以得到⎰g(x)dx=⎰f[ϕ(x)] ϕ’(x)dx=⎰f(u)du。

积分公式主要有如下几类：含ax+b的积分、含√(a+bx)的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b(a>0)的积分、含有√(a²+x^2) (a>0)的积分、含有√(a^2-x^2) (a>0)的积分、含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的积分、含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分。

常用不定积分公式

1、∫kdx=kx+C。

2、∫x^ndx=[1/(n+1)]x^（n+1）+C。

3、∫a^xdx=a^x/lna+C。

4、∫sinxdx=-cosx+C。

5、∫cosxdx=sinx+C。

Answer 2

如图

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答案是错的吧

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